rumah » Datar » Tabel integral kompleks selesai. Metode dasar integrasi. Integrasi jumlah fungsi

Tabel integral kompleks selesai. Metode dasar integrasi. Integrasi jumlah fungsi

Definisi 1

Antiturunan $ F (x) $ untuk fungsi $ y = f (x) $ pada segmen $$ adalah fungsi yang terdiferensiasi pada setiap titik segmen ini dan persamaan berikut berlaku untuk turunannya:

Definisi 2

Himpunan semua antiturunan dari fungsi tertentu $ y = f (x) $, yang didefinisikan pada interval tertentu, disebut integral tak tentu dari fungsi tertentu $ y = f (x) $. Integral tak tentu dilambangkan dengan simbol $ \ int f(x) dx $.

Dari tabel turunan dan Definisi 2 kita peroleh tabel integral dasar.

Contoh 1

Periksa validitas rumus 7 dari tabel integral:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C, \, \, C = const. \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ kiri (- \ ln | \ cos x | + C \ kanan) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \]

Contoh 2

Periksa validitas rumus 8 dari tabel integral:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C, \, \, C = const. \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ kiri (\ ln | \ sin x | \ kanan) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

Turunan tersebut ternyata sama dengan integran. Oleh karena itu, rumusnya benar.

Contoh 3

Periksa validitas rumus 11" dari tabel integral:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const . \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ kiri (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ kanan) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ kiri ( \ frac (x) (a) \ kanan) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (a ^ (2) + x ^ (2)) \]

Turunan tersebut ternyata sama dengan integran. Oleh karena itu, rumusnya benar.

Contoh 4

Periksa validitas rumus 12 dari tabel integral:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ kiri | \ frac (a + x) (ax) \ kanan | + C, \, \, C = konstanta \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ kiri | \ frac (a + x) (a-x) \ kanan | + C $.

$ \ kiri (\ frac (1) (2a) \ ln \ kiri | \ frac (a + x) (ax) \ kanan | + C \ kanan) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (ax)) \ cdot \ kiri (\ frac (a + x) (ax) \ kanan) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) ( a + x) \ cdot \ frac (ax + a + x) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) (a + x) \ cdot \ frac ( 2a) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ Turunan sama dengan integran. Oleh karena itu, rumusnya benar.

Contoh 5

Periksa validitas rumus 13" dari tabel integral:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const. \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ kiri (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ kanan) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ kiri (\ frac (x) (a) \ kanan) ^ (2 ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

Turunan tersebut ternyata sama dengan integran. Oleh karena itu, rumusnya benar.

Contoh 6

Periksa validitas rumus 14 dari tabel integral:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C, \, \, C = konstan \]

Mari kita bedakan ruas kanan: $ \ ln | x + \ kuadrat (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ kiri (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ kanan) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ kiri (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ kanan) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ kiri (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot 2x \ kanan) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2) ) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

Turunan tersebut ternyata sama dengan integran. Oleh karena itu, rumusnya benar.

Contoh 7

Temukan integralnya:

\ [\ int \ kiri (\ cos (3x + 2) + 5x \ kanan) dx. \]

Kami menggunakan teorema pada integral dari jumlah:

\ [\ int \ kiri (\ cos (3x + 2) + 5x \ kanan) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

Mari kita gunakan teorema untuk mengambil faktor konstan dari tanda integral:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

Menurut tabel integral:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C; \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

Saat menghitung integral pertama, kami menggunakan aturan 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

Karenanya,

\ [\ int \ kiri (\ cos (3x + 2) + 5x \ kanan) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C, \, \, C = C_ (1 ) + C_ (2) \]

Integrasi Langsung Menggunakan Tabel Antiturunan (Tabel Integral Tak tentu)

Tabel antiturunan

Kita dapat menemukan antiturunan terhadap diferensial fungsi yang diketahui jika kita menggunakan sifat-sifat integral tak tentu. Dari tabel fungsi dasar dasar, menggunakan persamaan d F (x) = F "(x) dx = f (x) dx = F (x) + C dan k f (x) dx = k f (x) dx Anda dapat membuat tabel antiturunan.

Mari kita tulis tabel turunan dalam bentuk diferensial.

Konstanta y = C

C "= 0

Fungsi daya y = x p.

(x p) "= p x p - 1

Konstanta y = C

d (C) = 0 d x

Fungsi daya y = x p.

d (x p) = p x p - 1 d x

(a x) "= a x · ln a

Fungsi eksponensial y = a x.

d (a x) = a x ln d x

Secara khusus, untuk a = e kita memiliki y = e x

d (e x) = e x d x

log a x "= 1 x · ln a

Fungsi logaritma y = log a x.

d (log a x) = d x x ln a

Secara khusus, untuk a = e kita memiliki y = ln x

d (ln x) = d x x

Fungsi trigonometri.

sin x "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 c o s 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Fungsi trigonometri.

d sin x = cos x d x d (cos x) = - sin x d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x

a r c sin x "= 1 1 - x 2 a r c cos x" = - 1 1 - x 2 a r c t g x "= 1 1 + x 2 a r c c t g x" = - 1 1 + x 2

Fungsi trigonometri terbalik.

d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Mari kita ilustrasikan hal di atas dengan sebuah contoh. Tentukan integral tak tentu dari fungsi daya f (x) = x p.

Berdasarkan tabel diferensial d (x p) = p x p - 1 d x. Dengan sifat-sifat integral tak tentu, kita memiliki d (x p) = p x p - 1 d x = p x p - 1 d x = x p + C. Jadi, xp - 1 dx = xpp + C p, p 0. Notasi versi kedua adalah sebagai berikut: xp dx = xp + 1 p + 1 + C p + 1 = xp + 1 p + 1 + C 1, p - 1.

Biarkan sama dengan - 1, cari himpunan antiturunan dari fungsi pangkat f (x) = x p: x p d x = ∫ x - 1 d x = d x x.

Sekarang kita membutuhkan tabel diferensial untuk logaritma natural d (ln x) = d x x, x> 0, oleh karena itu d (ln x) = d x x = ln x. Jadi, d x x = ln x, x > 0.

Tabel antiturunan (integral tak tentu)

Kolom kiri tabel berisi rumus yang disebut antiturunan dasar. Di kolom kanan, rumusnya bukan dasar, tetapi dapat digunakan untuk mencari integral tak tentu. Mereka dapat diperiksa dengan diferensiasi.

Integrasi langsung

Untuk melakukan integrasi langsung, kita akan menggunakan tabel antiturunan, aturan integrasi f (k x + b) dx = 1 k F (k x + b) + C, serta sifat-sifat integral tak tentu k f (x) dx = k f (x) dx (f (x) ± g (x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx

Tabel integral dasar dan sifat-sifat integral hanya dapat digunakan setelah sedikit transformasi integran.

Contoh 1

Tentukan integral 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Larutan

Kami mengambil koefisien 3 dari bawah tanda integral:

3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Menggunakan rumus trigonometri, kami mengubah integran:

3 sin x 2 + cos x 2 2 dx = 3 sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 dx = = 3 1 + 2 sin x 2 cos x 2 dx = 3 1 + dosa xdx

Karena integral dari jumlah sama dengan jumlah dari integral, maka
3 1 + sin x d x = 3 1 d x + sin x d x

Kami menggunakan data dari tabel antiturunan: 3 1 dx + sin xdx = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = у с 3 1 + 2 = = 3 x - 3 cos x + C

Menjawab: 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C.

Contoh 2

Tentukan himpunan antiturunan dari fungsi f (x) = 2 3 4 x - 7.

Larutan

Kami menggunakan tabel antiturunan untuk fungsi eksponensial: a x · d x = a x ln a + C. Artinya 2 x d x = 2 x ln 2 + C.

Kami menggunakan aturan integrasi f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C.

Kita peroleh 2 3 4 x - 7 d x = 1 3 4 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C.

Jawaban: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Menggunakan tabel antiturunan, sifat dan aturan integrasi, kita dapat menemukan banyak integral tak tentu. Hal ini dimungkinkan ketika integran dapat ditransformasikan.

Untuk menemukan integral dari fungsi logaritma, fungsi tangen dan kotangen dan sejumlah lainnya, digunakan metode khusus, yang akan kita bahas di bagian "Metode dasar integrasi".

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter

Integrasi adalah salah satu operasi dasar dalam kalkulus. Tabel antiturunan terkenal dapat berguna, tetapi sekarang, setelah munculnya sistem aljabar komputer, mereka kehilangan arti pentingnya. Di bawah ini adalah daftar antiderivatif yang paling umum.

Tabel integral dasar

Pilihan lain yang ringkas

Tabel integral fungsi trigonometri

Dari fungsi rasional

Dari fungsi irasional

Integral fungsi transendental

"C" adalah konstanta integrasi sewenang-wenang, yang ditentukan jika nilai integral di sembarang titik diketahui. Setiap fungsi memiliki jumlah antiturunan yang tidak terbatas.

Sebagian besar anak sekolah dan siswa memiliki masalah dalam menghitung integral. Halaman ini berisi tabel integral dari fungsi trigonometri, rasional, irasional dan transendental untuk membantu dalam penyelesaian. Ini juga akan membantu Anda tabel turunan.

Video - cara menemukan integral

Jika Anda tidak begitu memahami topik ini, tonton video yang menjelaskan semuanya secara rinci.

Kami membuat daftar integral dari fungsi dasar, yang kadang-kadang disebut tabel:

Salah satu rumus di atas dapat dibuktikan dengan mengambil turunan dari ruas kanan (sebagai hasilnya, integran akan diperoleh).

Metode integrasi

Mari kita lihat beberapa metode utama integrasi. Ini termasuk:

1. Metode dekomposisi(integrasi langsung).

Metode ini didasarkan pada penerapan langsung integral tabular, serta pada penerapan sifat 4 dan 5 dari integral tak tentu (yaitu, menghilangkan faktor konstanta dan / atau mewakili integral sebagai jumlah fungsi - perluasan dari integral ke dalam istilah).

Contoh 1. Misalnya, untuk mencari (dx / x 4), Anda dapat langsung menggunakan integral tabel untuk x n dx. Memang, (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C.

Contoh 2. Untuk menemukan, kami menggunakan integral yang sama:

Contoh 3. Untuk menemukan, Anda harus mengambil

Contoh 4. Untuk menemukan, kami mewakili integran dalam bentuk dan gunakan integral tabular untuk fungsi eksponensial:

Pertimbangkan untuk menggunakan faktor konstan di luar kurung.

Contoh 5.Mari kita temukan, misalnya ... Mempertimbangkan itu, kita mendapatkan

Contoh 6. Kami akan menemukannya. Sejauh , kita menggunakan integral tabel Kita mendapatkan

Anda juga dapat menggunakan integral kurung dan tabel dalam dua contoh berikut:

Contoh 7.

(gunakan dan );

Contoh 8.

(menggunakan dan ).

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks menggunakan integral dari jumlah.

Contoh 9. Sebagai contoh, mari kita cari
... Untuk menerapkan metode ekspansi dalam pembilang, kami menggunakan rumus pangkat tiga dari jumlah , dan kemudian membagi polinomial yang dihasilkan dengan penyebutnya.

= ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx = (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx =

Perlu dicatat bahwa pada akhir solusi satu konstanta umum C ditulis (dan tidak terpisah ketika mengintegrasikan setiap suku). Di masa depan, juga diusulkan untuk menghilangkan konstanta dalam proses penyelesaian dari integrasi suku-suku individu selama ekspresi tersebut mengandung setidaknya satu integral tak tentu (kita akan menulis satu konstanta di akhir solusi).

Contoh 10. Menemukan ... Untuk menyelesaikan soal ini, kita memfaktorkan pembilangnya (setelah itu, penyebutnya bisa dikurangkan).

Contoh 11. Kami akan menemukannya. Identitas trigonometri dapat digunakan di sini.

Terkadang, untuk menguraikan ekspresi menjadi istilah, Anda harus menggunakan teknik yang lebih kompleks.

Contoh 12. Menemukan ... Di integran, pilih bagian bilangan bulat dari pecahan ... Kemudian

Contoh 13. Menemukan

2. Metode penggantian variabel (metode substitusi)

Metode ini didasarkan pada rumus berikut: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, di mana x = (t) adalah fungsi yang terdiferensiasi pada interval yang ditinjau.

Bukti. Mari kita cari turunan terhadap variabel t dari ruas kiri dan kanan rumus.

Perhatikan bahwa di sisi kiri ada fungsi kompleks, argumen perantaranya adalah x = (t). Oleh karena itu, untuk mendiferensiasikannya terhadap t, pertama-tama kita bedakan integralnya terhadap x, dan kemudian ambil turunan dari argumen perantara terhadap t.

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

Berasal dari sisi kanan:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

Karena turunan-turunan ini sama, oleh akibat wajar dari teorema Lagrange, ruas kiri dan kanan rumus yang dibuktikan berbeda dengan beberapa konstanta. Karena integral tak tentu itu sendiri didefinisikan hingga suku konstan tak tentu, konstanta tertentu dalam notasi akhir dapat dihilangkan. Terbukti.

Perubahan variabel yang berhasil memungkinkan untuk menyederhanakan integral asli, dan dalam kasus paling sederhana menguranginya menjadi tabel. Dalam penerapan metode ini, dibuat perbedaan antara metode substitusi linier dan nonlinier.

a) Metode substitusi linier Mari kita pertimbangkan sebuah contoh.

Contoh 1.
... Misalkan t = 1 - 2x, maka

dx = d (½ - t) = - dt

Perlu dicatat bahwa variabel baru tidak perlu ditulis secara eksplisit. Dalam kasus seperti itu, seseorang berbicara tentang mentransformasikan suatu fungsi di bawah tanda diferensial atau memasukkan konstanta dan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu. HAI penggantian variabel implisit.

Contoh 2. Misalnya, cari cos (3x + 2) dx. Dengan sifat-sifat diferensial dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), maka cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2 ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.

Dalam kedua contoh yang dipertimbangkan, substitusi linier t = kx + b (k0) digunakan untuk mencari integral.

Dalam kasus umum, teorema berikut ini benar.

Teorema substitusi linier... Biarkan F (x) menjadi beberapa antiturunan untuk fungsi f (x). Maka f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, di mana k dan b adalah beberapa konstanta, k0.

Bukti.

Berdasarkan definisi integral, f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Pindahkan faktor konstanta k untuk tanda integral: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Sekarang kita dapat membagi ruas kiri dan kanan persamaan menjadi k dan memperoleh penegasan yang dibuktikan dengan notasi suku konstan.

Teorema ini menegaskan bahwa jika ekspresi (kx + b) disubstitusikan ke dalam definisi integral f (x) dx = F (x) + C alih-alih argumen x, maka ini akan menyebabkan munculnya faktor tambahan 1 / k di depan antiturunan.

Dengan menggunakan teorema terbukti, kami memecahkan contoh berikut.

Contoh 3.

Menemukan ... Di sini kx + b = 3 –x, yaitu k = -1, b = 3. Maka

Contoh 4.

Kami akan menemukannya. Di sini kx + b = 4x + 3, yaitu, k = 4, b = 3. Maka

Contoh 5.

Menemukan ... Di sini kx + b = -2x + 7, yaitu k = -2, b = 7. Maka

Contoh 6. Menemukan
... Di sini kx + b = 2x + 0, yaitu k = 2, b = 0.

Mari kita bandingkan hasil ini dengan Contoh 8, yang diselesaikan dengan metode dekomposisi. Memecahkan masalah yang sama dengan metode yang berbeda, kami mendapat jawabannya
... Mari kita bandingkan hasil yang didapat: Dengan demikian, ekspresi ini berbeda satu sama lain dengan istilah konstan , yaitu jawaban yang diterima tidak saling bertentangan.

Contoh 7. Menemukan
... Mari kita pilih sebuah persegi lengkap di penyebutnya.

Dalam beberapa kasus, mengubah sebuah variabel tidak langsung mereduksi integral menjadi sebuah tabel, tetapi dapat menyederhanakan penyelesaiannya, sehingga memungkinkan untuk menggunakan metode dekomposisi pada langkah berikutnya.

Contoh 8. Sebagai contoh, mari kita cari ... Ganti t = x + 2, maka dt = d (x + 2) = dx. Kemudian

di mana = 1 - 6 (saat mengganti ekspresi (x + 2) alih-alih t, alih-alih dua suku pertama kita mendapatkan x 2 -2x– 6).

Contoh 9. Menemukan
... Misalkan t = 2x + 1, maka dt = 2dx; dx = dt; x = (t - 1) / 2.

Ganti ekspresi (2x + 1) alih-alih t, perluas tanda kurung dan berikan yang serupa.

Perhatikan bahwa dalam proses transformasi kita beralih ke suku konstan lain, karena kelompok istilah konstan dalam proses transformasi dapat dihilangkan.

b) Metode substitusi nonlinier Mari kita pertimbangkan sebuah contoh.

Contoh 1.
... Misalkan t = -x 2. Selanjutnya, seseorang dapat menyatakan x melalui t, kemudian menemukan ekspresi untuk dx dan menerapkan perubahan variabel dalam integral yang diperlukan. Tetapi dalam kasus ini, lebih mudah untuk melakukannya secara berbeda. Cari dt = d (-x 2) = -2xdx. Perhatikan bahwa ekspresi xdx adalah faktor integral dari integral yang disyaratkan. Mari kita nyatakan dari persamaan yang diperoleh xdx = - dt. Kemudian