Sepasang gaya pada pesawat dan momennya. Apa itu sepasang kekuatan? Berapa momen pasangan tersebut? Memecahkan masalah untuk menentukan reaksi pendukung

Dengan beberapa kekuatan disebut sistem dua gaya yang sama besarnya, paralel dan diarahkan dalam arah yang berlawanan, bekerja pada benda tegar (Gbr. 17).

Bidang yang memuat garis-garis aksi gaya-gaya pasangan tersebut disebut bidang aksi gaya-gaya pasangan ... Jarak terpendek antara garis-garis aksi gaya-gaya suatu pasangan disebut pasangan bahu .

Aksi rotasi pasangan pada benda tegar bergantung pada modulus gaya pasangan, lengan, posisi bidang kerja pasangan dan arah putaran.

Ukuran aksi pasangan ini adalah momen vektornya. Jika semua gaya dan pasangan yang bekerja pada benda terletak pada bidang yang sama, maka momen pasangan dapat dianggap sebagai besaran aljabar yang sama dengan

Momen pasangan dianggap positif jika dia cenderung memutar tubuh berlawanan arah jarum jam dan negatif , jika - searah jarum jam.

Momen pasangan, seperti momen gaya, diukur dalam (sistem SI) dan dalam (sistem MKGSS).

Jumlah aljabar momen-momen gaya suatu pasangan relatif terhadap suatu titik sembarang pada bidang aksinya tidak bergantung pada pilihan titik ini dan sama dengan momen pasangan tersebut. Memang, mari kita tentukan jumlah momen gaya dan pasangan (Gbr. 18) relatif terhadap titik sembarang yang terletak di bidang aksi pasangan.

Karena, kita mendapatkan:

Jika gaya dan pasangan yang diterapkan pada benda terletak pada bidang yang berbeda, maka momen pasangan, seperti momen gaya, harus dianggap sebagai vektor. Dalam hubungan ini, kami memperkenalkan definisi umum dari momen pasangan.

Sesaat pasangan adalah vektor yang besarnya sama dengan perkalian modulus gaya-gaya pasangan pada bahunya dan diarahkan tegak lurus terhadap bidang aksinya ke arah dari mana rotasi yang berusaha diberikan pasangan tersebut ke tubuh terlihat terjadi berlawanan arah jarum jam (Gbr. 17).

Modulus vektor tersebut adalah

Dari definisi vektor dan dapat disimpulkan bahwa momen pasangan (Gbr. 17) sama besar dan arahnya dengan momen salah satu gaya pasangan (misalnya) relatif terhadap titik penerapan yang lain, itu adalah

Dengan menggunakan rumus 16, kita mendapatkan:

Dengan demikian, momen pasangan dapat direpresentasikan dalam bentuk produk vektor (23), di mana adalah vektor jari-jari dari titik penerapan gaya relatif terhadap titik penerapan gaya (Gbr. 17).

Pasangkan properti diungkapkan oleh teorema berikut, yang disajikan di sini tanpa bukti.

1) Aksi pasangan pada benda tegar tidak akan berubah jika pasangan tersebut dipindahkan dalam bidang aksinya ke posisi lain.

2) Kerja pasangan pada benda tegar tidak akan berubah jika modulus gaya pasangan dan bahunya diubah sehingga modulus momen pasangan tetap tidak berubah.

3) Kerja suatu pasangan pada benda padat tidak akan berubah jika pasangan tersebut dipindahkan ke bidang lain yang sejajar dengan bidang kerjanya.

4) Sistem pasangan yang diterapkan pada benda tegar dapat digantikan oleh satu pasangan yang dihasilkan dengan momen yang sama dengan jumlah geometris momen dari suku-suku pasangan:

Ini mengikuti dari teorema bahwa pasangan, yang dinyatakan oleh vektor, dalam benda padat dapat ditransfer secara sewenang-wenang di bidang aksi pasangan, dan juga ditransfer ke bidang paralel apa pun; karena itu momen pasangan adalah vektor bebas , yaitu itu dapat digambarkan sebagai melekat pada setiap titik pada tubuh yang kaku.

Pertanyaan Tes Mandiri untuk Bagian 2

1. Tentukan momen gaya relatif terhadap suatu titik sebagai besaran aljabar, sebagai vektor.

2. Dalam hal apa momen gaya terhadap suatu titik sama dengan nol?

3. Apa yang disebut momen gaya terhadap sumbu?

4. Dalam kasus apa momen gaya terhadap sumbu sama dengan nol?

5. Apakah mungkin untuk membuka pintu jika semua gaya yang bekerja padanya terletak pada bidang pintu?

6. Apa hubungan antara momen-momen gaya terhadap suatu sumbu dan terhadap suatu titik yang terletak pada sumbu tersebut?

7. Turunkan rumus untuk momen gaya relatif terhadap tiga sumbu koordinat, dengan menggunakan representasi vektor momen gaya relatif terhadap suatu titik dalam bentuk perkalian silang.

8. Apa yang disebut dengan sepasang gaya? Berapa momen pasangan tersebut?

9. Faktor apa yang menentukan pengaruh pasangan pada benda padat?

10. Bagaimana arahnya, di mana vektor momen pasangan diterapkan?

11. Rumuskan kondisi kesetimbangan untuk sistem pasangan gaya yang diterapkan pada benda tegar.

12. Apakah dua pasang gaya yang terletak pada bidang paralel dapat saling menyeimbangkan; di pesawat yang berpotongan?

13. Bagaimana bahu dan modulus gaya suatu pasangan dapat diubah tanpa mengubah efek pasangan pada benda tegar?

14. Bagaimana pasangan yang terletak pada bidang yang sama dijumlahkan; di pesawat yang berpotongan?

Sistem dua gaya dengan modulus yang sama, paralel dan diarahkan dalam arah yang berlawanan, bekerja pada benda yang benar-benar kaku. Aksi sepasang gaya pada benda tegar direduksi menjadi beberapa efek rotasi, yang dicirikan oleh nilai - momen pasangan.

Ini didefinisikan:

Modulusnya = F * d. d - jarak antara garis aksi gaya pasangan, yang disebut bahu pasangan.

Posisi dalam ruang bidang aksi pasangan.

Arah rotasi pasangan di bidang ini.

Sesaat beberapa kekuatan- vektor m (atau M), yang modulusnya sama dengan produk modulus salah satu gaya pasangan, pada bahunya, dan yang diarahkan tegak lurus terhadap bidang aksi pasangan dalam arah dari dimana pasangan tersebut terlihat cenderung memutar badan berlawanan arah jarum jam.

Dua pasang berbaring || bidang dan memiliki momen yang sama adalah ekivalen.

Semua pasangan pada bidang yang berpotongan dapat digantikan oleh satu pasangan dengan momen yang sama dengan jumlah momen dari pasangan-pasangan tersebut. Untuk uap yang benar-benar padat- vektor bebas, hanya ditentukan oleh momen. Momen tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh pasangan.

Sepasang dapat diganti dengan gaya paralel dengan gaya yang sama dan pasangan dengan momen yang sama dengan produk gaya ini dan jarak ke titik aplikasi yang baru.

Teorema pasangan .

1) Dua pasang yang terletak pada bidang yang sama dapat digantikan oleh satu pasang yang terletak pada bidang yang sama, dengan momen yang sama dengan jumlah momen dari kedua pasangan tersebut. ...

2) Dua pasang yang memiliki momen geometris yang sama adalah ekivalen.

3) Tanpa melanggar keadaan benda tegar, sepasang gaya dapat ditransfer dalam bidang aksinya. Itu. momen sepasang gaya adalah vektor bebas.

4) Sistem beberapa pasang gaya setara dengan satu pasang, yang momennya sama dengan jumlah vektor momen dari pasangan-pasangan tersebut. Itu. sistem pasangan direduksi menjadi satu pasangan, yang momennya sama dengan jumlah momen semua pasangan. Kondisi kesetimbangan untuk pasangan gaya: - jumlah geometrik momennya adalah 0. Pasangan gaya yang terletak pada bidang yang sama akan saling seimbang jika jumlah aljabar momennya adalah M i = 0.

Momen gaya relatif terhadap suatu titik - vektor yang secara numerik sama dengan produk modulus gaya bahu dan diarahkan tegak lurus terhadap bidang yang mengandung gaya dan titik, sedemikian rupa sehingga, dengan melihat ke arah itu, seseorang dapat melihat gaya yang cenderung berbalik melawan jarum jam. Bahu "h" - jarak terpendek dari suatu titik ke garis aksi gaya. - momen gaya sama dengan produk vektor vektor dengan vektor. Modulus hasil kali vektor: R × F × sina = F × h. Untuk sistem datar. gaya biasanya tidak menemukan vektor momen, tetapi hanya modulusnya: ± F × h,> 0 - terhadap jam.str .; x, F y, F z adalah proyeksi gaya pada sumbu koordinat dan titik 0 adalah titik asal, maka

= (yF z - zF y) + (zF x - xF z) + (xF y - yF x), dari mana proyeksi momen gaya pada sumbu koordinat .: М 0 x () = yF z - zF y ; 0 y () = zF x - xF z; 0 z () = xF y - yF x.

Vektor utama adalah jumlah vektor dari semua gaya yang diterapkan pada tubuh. Momen utama tentang pusat adalah jumlah vektor momen semua gaya yang diterapkan pada benda di sekitar pusat yang sama.

Teorema (lemma) tentang perpindahan gaya paralel: gaya yang bekerja pada setiap titik adalah padat. benda, ekivalen dengan gaya yang sama yang diterapkan pada titik lain dari benda ini, dan sepasang gaya, yang momennya sama dengan momen gaya yang diberikan relatif terhadap titik penerapan yang baru.

1. Sistem datar dari gaya konvergen

Sistem gaya konvergen adalah keseimbangan, ketika jumlah aljabar proyeksi suku-sukunya pada masing-masing sumbu koordinat sama dengan nol.

Proyeksi gaya sumbu.

Sumbu disebut garis lurus, di mana arah tertentu dikaitkan. Proyeksi vektor ke sumbu adalah skalar.

Proyeksi suatu vektor dianggap positif (+) jika arah dari awal sampai akhir bertepatan dengan arah positif sumbu. Proyeksi vektor dianggap negatif (-) jika arah dari awal proyeksi hingga ujungnya berlawanan dengan arah sumbu positif.

Jika gaya bertepatan dengan arah positif sumbu, tetapi sudutnya tumpul, maka proyeksi gaya ke sumbu akan negatif.

Jadi, proyeksi gaya ke sumbu koordinat sama dengan produk modulus gaya dengan kosinus atau sinus sudut antara vektor gaya dan arah positif sumbu.

Gaya yang terletak pada bidang xOy dapat diproyeksikan ke dua sumbu koordinat Ox dan Oy:

; ; .

Proyeksi jumlah vektor ke sumbu.

Jumlah geometris, atau resultan, dari gaya-gaya ini

ditentukan oleh sisi penutup poligon daya :,

di mana n - nomor istilah vektor.

Jadi, proyeksi jumlah vektor atau resultan pada sembarang sumbu sama dengan jumlah aljabar proyeksi suku-suku vektor pada sumbu yang sama.

2. Beberapa kekuatan

Jumlah proyeksi sepasang gaya pada sumbu x dan sumbu y adalah nol, oleh karena itu pasangan gaya tidak memiliki resultan. Meskipun demikian, tubuh berada dalam keseimbangan di bawah pengaruh sepasang gaya.

Kemampuan sepasang gaya untuk menghasilkan rotasi ditentukan momen pasangan sama dengan hasil kali gaya dengan jarak terpendek antara garis-garis aksi gaya-gaya tersebut. Kami menunjukkan momen pasangan M, dan jarak terpendek antara gaya A, maka nilai mutlak momen:

Jarak terpendek antara garis-garis aksi gaya disebut - pasangan bahu, sehingga kita dapat mengatakan bahwa momen sepasang gaya dalam nilai absolut sama dengan hasil kali salah satu gaya pada bahunya.

Momen sepasang gaya dapat ditunjukkan dengan panah melengkung yang menunjukkan arah putaran.

Dua pasang gaya dianggap setara dalam hal setelah mengganti satu pasangan dengan yang lain, keadaan mekanis tubuh tidak berubah, mis. gerakan tubuh tidak berubah atau keseimbangannya tidak terganggu.

Efek aksi sepasang gaya pada benda tegar tidak bergantung pada posisinya di bidang. Dengan demikian, sepasang gaya dapat ditransfer dalam bidang aksinya ke posisi apa pun.

Sifat lain dari sepasang gaya, yang merupakan dasar untuk menjumlahkan pasangan:

- tanpa melanggar keadaan tubuh, Anda dapat mengubah modul gaya dan bahu pasangan sesuka Anda, selama momen pasangan tetap tidak berubah.

Menurut definisi, pasangan gaya adalah setara, yaitu melakukan tindakan yang sama jika momennya sama.

Jika, dengan mengubah nilai gaya dan bahu pasangan baru, kami mempertahankan persamaan momen mereka M 1 = M 2 atau F 1 a = F 2 b, maka keadaan tubuh tidak akan terganggu dengan penggantian seperti itu.

Mirip dengan gaya, pasangan dapat ditambahkan. Pasangan yang menggantikan aksi dari pasangan ini disebut dihasilkan. Aksi sepasang gaya sepenuhnya ditentukan oleh momen dan arah rotasinya. Berdasarkan ini, penambahan pasangan dilakukan dengan penjumlahan aljabar momen mereka, yaitu. momen pasangan yang dihasilkan sama dengan jumlah aljabar momen pasangan penyusunnya.

Momen pasangan yang dihasilkan ditentukan oleh rumus:

M = M 1 + M 2 +. .. + M NS.=

M і ,

Dimana momen pasangan, berputar searah jarum jam, diambil positif, dan berlawanan arah jarum jam - negatif. Berdasarkan aturan penjumlahan pasangan di atas, kondisi kesetimbangan untuk sistem pasangan yang terletak pada bidang yang sama ditetapkan, yaitu: untuk keseimbangan sistem pasangan, perlu dan cukup bahwa momen pasangan yang dihasilkan sama dengan nol atau jumlah aljabar momen pasangan sama dengan nol:

Momen gaya terhadap suatu titik dan sumbu.

Momen gaya relatif terhadap suatu titik ditentukan oleh produk modulus gaya dengan panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ke garis kerja gaya.

Saat memperbaiki tubuh di titik O, gaya

cenderung memutarnya di sekitar titik ini. Titik O, relatif terhadap momen yang diambil, disebut pusat momen, dan panjang garis tegak lurus a - bahu relatif terhadap pusat momen.

Momen kekuatan

relatif terhadap O ditentukan oleh produk gaya pada bahu:.

Momen dianggap positif jika gaya cenderung memutar tubuh searah jarum jam, dan negatif - berlawanan arah jarum jam. Ada satu perbedaan yang signifikan antara momen pasangan dan momen gaya. Nilai numerik dan arah momen pasangan gaya tidak bergantung pada posisi pasangan ini pada bidang. Nilai dan arah (tanda) momen gaya tergantung pada posisi titik relatif terhadap mana momen ditentukan.Oleh karena itu, untuk menentukan momen gaya terhadap sumbu, Anda perlu memproyeksikan gaya pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu, dan temukan momen proyeksi gaya relatif terhadap titik perpotongan sumbu dengan bidang ini.

3. Metode kinetostatika

Mari kita bayangkan sebuah titik material bermassa m bergerak dengan percepatan a di bawah aksi beberapa sistem gaya aktif dan reaktif, yang resultannya adalah F.

Mari kita gunakan salah satu rumus yang kita kenal (persamaan dasar dinamika) untuk menulis persamaan gerak dalam bentuk persamaan kesetimbangan (metode kinetostatik):

Mari kita tulis ulang persamaan ini sebagai berikut:

Ekspresi dilambangkan dengan K di dan disebut gaya inersia:

Gaya inersia adalah vektor yang sama dengan produk massa suatu titik dengan percepatannya dan diarahkan ke arah yang berlawanan dengan percepatan.

Persamaan ini, yang merupakan ekspresi matematis dari prinsip yang menyandang nama ilmuwan Prancis D'Alembert (1717-1783), dapat dianggap sebagai persamaan keseimbangan titik material. Perlu ditekankan bahwa persamaan yang diperoleh, meskipun disebut persamaan kesetimbangan, sebenarnya merupakan persamaan gerak yang dimodifikasi dari suatu titik material.

Prinsip d'Alembert dirumuskan sebagai berikut: gaya-gaya aktif dan reaktif yang bekerja pada suatu titik material, bersama-sama dengan gaya-gaya inersia, membentuk suatu sistem gaya-gaya yang saling seimbang yang memenuhi semua kondisi kesetimbangan.

Harus diingat bahwa gaya inersia diterapkan pada titik material yang dipertimbangkan secara kondisional, tetapi untuk koneksi yang menyebabkan percepatan, dalam arti tertentu nyata. Memiliki sifat inersia, setiap benda berusaha untuk mempertahankan kecepatannya dalam nilai dan arah absolut tidak berubah, sebagai akibatnya ia akan bekerja pada sambungan yang menyebabkan percepatan dengan gaya yang sama dengan gaya inersia. Sebagai contoh aksi gaya inersia, kita dapat menyebutkan kasus penghancuran roda gila ketika mereka mencapai kecepatan sudut kritis. Dalam setiap benda yang berputar, gaya inersia bekerja, karena setiap partikel benda ini memiliki percepatan, dan partikel tetangga terikat untuk itu. Perhatikan bahwa berat suatu benda adalah gaya yang dengannya benda tersebut, karena daya tarik Bumi, bekerja pada penyangga (atau penangguhan), yang menahannya agar tidak jatuh bebas. Jika tubuh dan penyangga tidak bergerak, maka berat tubuh sama dengan gravitasinya.

4. Momen gaya relatif terhadap suatu titik

Pertimbangkan mur yang dikencangkan dengan kunci pas dengan panjang tertentu, menerapkan kekuatan otot ke ujung kunci pas. Jika Anda mengambil kunci pas beberapa kali lebih lama, kemudian menerapkan gaya yang sama, mur dapat lebih dikencangkan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa gaya yang sama dapat memiliki aksi rotasi yang berbeda. Aksi rotasi suatu gaya dicirikan oleh momen gaya.

Konsep momen gaya relatif terhadap suatu titik diperkenalkan ke dalam mekanika oleh ilmuwan Italia dan seniman Renaisans Leonardo da Vinci (1452-1519).

Momen gaya relatif terhadap suatu titik adalah produk dari modulus gaya pada bahunya:

0 (¥) = .

Titik relatif terhadap mana momen itu diambil disebut pusat momen. Bahu gaya relatif terhadap suatu titik adalah jarak terpendek dari pusat momen ke garis kerja gaya.

Beberapa kekuatan. Sesaat pasangan.

Sepasang gaya (atau hanya sepasang) adalah dua gaya yang besarnya sama, paralel dan diarahkan dalam arah yang berlawanan (Gbr. 22). Jelas, dan.

Gambar 22

Terlepas dari kenyataan bahwa jumlah gaya adalah nol, gaya-gaya ini tidak seimbang. Di bawah pengaruh kekuatan-kekuatan ini, sepasang kekuatan, tubuh akan mulai berputar. Dan efek rotasi akan ditentukan oleh momen pasangan:

.

Jarak A antara garis-garis aksi gaya disebut pasangan bahu.

Jika pasangan memutar tubuh berlawanan arah jarum jam, momennya dianggap positif (seperti pada Gambar 22), jika searah jarum jam - negatif.

Agar momen pasangan menunjukkan bidang di mana rotasi terjadi, itu diwakili oleh vektor.

Vektor momen pasangan diarahkan tegak lurus ke bidang di mana pasangan itu berada, sedemikian rupa sehingga jika kita melihat dari sana, kita akan melihat rotasi tubuh berlawanan arah jarum jam (Gbr. 23).

Sangat mudah untuk membuktikan bahwa vektor momen pasangan adalah vektor produk vektor ini (Gbr. 23). Dan perhatikan bahwa itu sama dengan vektor momen gaya relatif terhadap titik A, titik-titik penerapan gaya kedua:

Titik penerapan vektor akan dibahas di bawah ini. Sementara kami menerapkannya pada intinya A.

Gambar 23

Pasangkan properti

1) Proyeksi pasangan pada sembarang sumbu adalah nol. Ini mengikuti dari definisi sepasang kekuatan.

2) Temukan jumlah momen gaya dan merupakan pasangan, relatif terhadap sembarang titik HAI(gambar 24).

Gambar 24

Mari kita tunjukkan vektor jari-jari dari titik-titik A 1 dan A 2 dan vektor yang menghubungkan titik-titik ini. Maka momen sepasang gaya relatif terhadap titik HAI

Tetapi . Itu sebabnya.

Cara .

Momen sepasang gaya relatif terhadap sembarang titik sama dengan momen pasangan ini.

Oleh karena itu, pertama-tama, di mana pun intinya adalah HAI dan, kedua, tidak peduli di mana pasangan ini berada di tubuh dan tidak peduli bagaimana ia diputar di bidangnya, efeknya pada tubuh akan sama. Karena momen gaya yang membentuk pasangan, dalam kasus ini adalah sama, sama dengan momen pasangan ini.

Oleh karena itu, dua sifat lagi dapat dirumuskan.

3) Pasangan dapat dipindahkan di dalam tubuh di sepanjang bidang aksi dan dipindahkan ke bidang paralel lainnya.

4) Karena aksi pada tubuh gaya-gaya yang membentuk pasangan hanya ditentukan oleh momennya, hasil kali salah satu gaya pada bahu, maka pasangan tersebut dapat mengubah gaya dan bahu, tetapi agar momen pasangan tetap sama. Misalnya, dengan pasukan F 1 = F 2 = 5 H dan bahu A= momen 4 cm pasangan M= 20 H × cm. Anda dapat membuat kekuatan sama dengan 2 N, dan bahu A= 10 cm Dalam hal ini momen akan tetap sama 20 Ncm dan pengaruh pasangan pada benda tidak akan berubah.

Semua properti ini dapat digabungkan dan, sebagai hasilnya, kita dapat menyimpulkan bahwa pasangan dengan vektor momen yang sama dan di mana pun mereka berada pada tubuh, memiliki efek yang sama padanya. Artinya, pasangan seperti itu setara.

Berdasarkan ini, pada diagram desain, pasangan digambarkan sebagai busur dengan panah yang menunjukkan arah rotasi, dan nilai momen ditulis di sebelahnya. M... Atau, jika merupakan konstruksi spasial, tunjukkan hanya vektor momen dari pasangan ini. Dan vektor momen pasangan dapat diterapkan ke titik tubuh mana pun. Artinya vektor momen pasangan tersebut merupakan vektor bebas.

Dan satu lagi komentar tambahan. Karena momen pasangan sama dengan vektor momen salah satu gaya relatif terhadap titik penerapan gaya kedua, momen pasangan gaya relatif terhadap sembarang sumbu z- adalah proyeksi vektor momen pasangan ke sumbu ini:

di mana sudut antara vektor dan sumbu z.

Lebih mudah menggunakan konsep momen aljabar suatu pasangan jika semua pasangan terletak pada bidang yang sama. Sekarang bayangkan bahwa diperlukan untuk mempertimbangkan pasangan, bidang aksi yang, dalam kaitannya satu sama lain, terletak di ruang angkasa. Dalam hal ini, konsep momen vektor suatu pasangan diperkenalkan. Dengan analogi dengan momen vektor gaya relatif terhadap pusat, momen vektor pasangan harus menentukan:

bidang aksi pasangan ini;

arah rotasi pasangan di bidang ini;

nilai numerik momen pasangan.

Jadi, modulus vektor ini harus menyatakan, pada skala yang dipilih secara sewenang-wenang, nilai numerik momen pasangan, dan arah vektor ini harus menentukan arah tegak lurus terhadap bidang.

tindakan pasangan. Merupakan kebiasaan untuk mengarahkan momen vektor suatu pasangan sepanjang tegak lurus terhadap bidangnya ke arah itu, sehingga, dengan melihat pasangan dari ujungnya,

lihat pasangan ini memutar tubuh berlawanan arah jarum jam (Gbr. 25).

Berangkat dari fakta bahwa aksi pasangan pada benda tidak bergantung pada posisinya dalam bidang aksinya, titik penerapan momen vektor pasangan tidak menjadi masalah. Secara konvensional, titik ini diambil sebagai titik tengah segmen yang menghubungkan titik-titik penerapan gaya dari pasangan yang diberikan.

Menambahkan pasangan. Kondisi keseimbangan untuk pasangan

Teorema penjumlahan pasangan terletak pada bidang yang sama. Sistem pasangan yang terletak pada satu bidang sama dengan satu pasangan yang terletak pada bidang yang sama

bidang dan memiliki momen yang sama dengan jumlah aljabar momen dari suku-suku pasangan.

Bukti: Biarkan tiga pasangan bekerja pada tubuh dengan momen ,
,
(gbr. 26, A). Berdasarkan teorema kesetaraan pasangan, kita dapat mengganti pasangan ini dengan tiga pasangan
,
,
memiliki bahu yang sama dan momen yang sama:
,
,
(gbr. 26, B). Menambahkan secara terpisah gaya yang diterapkan pada titik dan , kita sampai pada intinya memaksa , dan pada titik memaksa , yang akan sama dalam modulus (Gbr. 26, v).

Akibatnya, seluruh sistem pasangan digantikan oleh satu pasangan
dengan sesaat. Untuk kasus dari " »Pasangan dengan momen ,
, …
, sistem diganti satu pasang dengan momen
... Jika pasangan terletak di ruang, maka kita bisa pergi ke persamaan vektor
... Memproyeksikan kesetaraan vektor ini pada sumbu sistem koordinat Cartesian, kami memperoleh
,
,
.

Dari sini kita memperoleh kondisi kesetimbangan untuk sistem pasangan: untuk keseimbangan sistem pasangan, perlu dan cukup bahwa momen pasangan yang dihasilkan sama dengan nol
.

Kondisi keseimbangan geometris : untuk kesetimbangan sistem pasangan sewenang-wenang, perlu dan cukup bahwa momen vektor dari pasangan yang dihasilkan sama dengan nol
.

Kondisi Kesetimbangan Analitik :
atau melalui proyeksi pada sumbu
,
,
. (7)

Topik 5. Membawa sistem kekuatan ke pusat

Biarkan sistem bekerja pada tubuh dari »Gaya berbaring di satu pesawat.

M Kita tahu bagaimana menjumlahkannya jika mereka berpotongan di satu titik atau sejajar. Namun, jika gaya-gaya ini di dalam bidang ditempatkan secara acak, maka gaya-gaya ini perlu dibawa ke suatu pusat. Mari kita tunjukkan prosedur ini untuk membawa gaya ke pusat tertentu menggunakan satu gaya sebagai contoh. Dalil. Setiap gaya yang diberikan setara dengan besar dan arah gaya yang sama, tetapi diterapkan pada titik lain dari tubuh dan beberapa pasangan.

Diberi kekuatan diterapkan pada titik (gambar 27, A). Diperlukan untuk membawa kekuatan ini ke pusat yang dipilih secara sewenang-wenang dan agar keadaan tubuh tidak berubah. Kami menerapkan pada titik dua kekuatan yang berlawanan
dan
sama dalam modulus gaya (gambar 27, B). Kemudian memaksa dan
membentuk pasangan. Oleh karena itu, gaya yang diberikan dapat diganti dengan kekuatan yang sama
diterapkan di mana saja di tubuh, dan sepasang
sebentar
, yang diperlukan untuk membuktikan (Gbr. 27, v).

Dari teorema yang dibuktikan, kita memperoleh bahwa gaya ini dapat ditransfer sejajar dengan dirinya sendiri dalam titik apapun tubuh dengan lampiran pasangan yang sesuai. Oleh karena itu pasangan
disebut terlampir ... Modulus momen dari pasangan yang terhubung adalah
... Di sisi lain, pekerjaan
mewakili momen kekuatan relatif terhadap pusat referensi baru :
.Karenanya,
, momen pasangan terlampir
sama dengan momen gaya terpasang di pusat lama pusat yang relatif baru .

Membawa sistem gaya datar ke pusat tertentu. Kasus casting khusus

Biarkan sistem gaya sewenang-wenang bekerja pada tubuh ,, …,berbaring di satu bidang (Gbr. 28, A). Ambil titik sewenang-wenang di pesawat ini , yang akan kita sebut pusat referensi, dan menggunakan teorema yang dibuktikan di atas, kami membawa semua gaya ke pusat (gambar 28, B).

Akibatnya, di tengah kita mendapatkan sistem gaya konvergen dan sistem pasangan gaya dengan momen:
,
, …,
... Sistem gaya konvergen dapat diganti dengan satu gaya terpasang di tengah , di mana
... Demikian pula, dengan teorema penjumlahan pasangan, semua pasangan dapat digantikan oleh satu pasangan yang terletak pada bidang yang sama. Momen pasangan ini adalah
.

besarnya , sama dengan jumlah geometris semua gaya sistem, disebut vektor utama sistem... Nilai
disebut titik utama sistem relatif terhadap pusat .

Akibatnya, kami menemukan bahwa ketika sistem gaya datar yang berubah-ubah direduksi menjadi beberapa pusat , kita mendapatkan dua vektor: adalah vektor utama sistem dan
- momen utama sistem relatif terhadap pusat .

Perlu dicatat di sini bahwa vektor utama sistem tidak bergantung pada pusat referensi, karena semua gaya ditransfer sejajar dengan diri mereka sendiri, dan titik utama dari sistem
tergantung pada pusat adduksi, karena ketika pusat adduksi berubah, bahu gaya akan berubah.

Sekarang mari kita pertimbangkan bentuk paling sederhana apa yang dapat direduksi menjadi sistem gaya datar.

Mari kita pertimbangkan dua kasus.

A)
,
... Dalam hal ini, sistem segera diganti yg dihasilkan, yang dalam hal ini akan sama dengan vektor utama sistem dan melewati titik .

B )
,
... Dalam hal ini, sistem juga diganti yg dihasilkan, yang juga akan sama dengan vektor utama sistem, tetapi tidak akan melewati titik , dan melalui titik ... Mari kita tunjukkan bahwa memang demikian dan tentukan posisi titiknya ... Biarkan, sebagai hasil dari pengurangan, kami memperoleh vektor utama dan poin utama
relatif terhadap pusat (gbr. 29, A). Mari kita gambarkan beberapa kekuatan demi kekuatan dan
, dan kami memilih kekuatan ini sedemikian rupa sehingga kami memiliki persamaan:
,
(gbr. 29, B). Lalu kita membuang kekuatan dan seimbang, kita mendapatkan bahwa sistem digantikan oleh resultan
, tetapi melewati titik (gbr. 29, v). Posisi titik ditentukan oleh rasio
.

Teorema Varignon pada momen resultan

Momen sistem resultan gaya-gaya relatif terhadap sembarang titik pada bidang sama dengan jumlah aljabar momen gaya-gaya penyusun relatif terhadap titik yang sama.

Pertimbangkan sistem gaya konvergen datar di titik (gbr. 30, A).

Ab c

Kami mengganti sistem gaya ini dengan resultan yang diterapkan pada titik yang sama (Gbr. 30, B). Mari kita tentukan momen dari resultan ini relatif terhadap titik berbaring di poros (gbr. 30, v). Kami memperluas resultannya menjadi komponen dan , yang masing-masing ditentukan oleh :,. Menentukan momen proyeksi ini relatif terhadap titik (gbr. 30, v), kita mendapatkan itu
, karena melintasi titik ... Kemudian . Mempertimbangkan masing-masing gaya dengan cara yang sama (Gbr. 30, A), kita peroleh bahwa momen masing-masing relatif terhadap titik akan ditentukan oleh momen proyeksi gaya-gaya ini pada sumbu relatif terhadap titik , yaitu ,,. Mempertimbangkan itu, kita mendapatkan

. (8)