Da li je moguće raditi stvari sa 0?Akcije sa nulom. Koncept matematičke beskonačnosti

Svako od nas je iz škole naučio najmanje dva nepokolebljiva pravila: "zhi i shi - piši slovom I" i " Ne možete podijeliti sa nulom". I ako se prvo pravilo može objasniti posebnošću ruskog jezika, onda drugo postavlja sasvim logično pitanje: "Zašto?"

Zašto ne možete podijeliti sa nulom?

Nije sasvim jasno zašto se o tome ne priča u školi, ali sa aritmetičke tačke gledišta, odgovor je vrlo jednostavan.

Uzmimo broj 10 i podijelite ga sa 2 . To implicira da smo uzeli 10 bilo koje predmete i rasporedio ih prema 2 ravnopravne grupe, tj 10: 2 = 5 (Do 5 stavke u grupi). Isti primjer se može napisati pomoću jednačine x * 2 = 10(I X ovdje će biti jednaki 5 ).

Sada, zamislimo na trenutak da možete podijeliti sa nulom, i hajde da pokušamo 10 podijeliti po 0 .

Dobit ćete sljedeće: 10: 0 = x, dakle x * 0 = 10. Ali naši proračuni ne mogu biti tačni, jer kada množimo bilo koji broj sa 0 uvek uspe 0 . U matematici ne postoji takav broj koji se pomnoži sa 0 dao bi nešto drugo osim 0 . Dakle, jednačine 10: 0 = x I x * 0 = 10 nemam rešenje. S obzirom na to, kažu da se ne može dijeliti sa nulom.

Kada možete podijeliti sa nulom?

Postoji opcija u kojoj dijeljenje nulom još uvijek ima nekog smisla. Ako podijelimo samu nulu, dobićemo sljedeće 0: 0 = x, što znači x * 0 = 0.

Pretvarajmo se to x=0, onda jednadžba ne postavlja nikakva pitanja, sve se savršeno uklapa 0: 0 = 0 , i zbog toga 0 * 0 = 0 .

Ali šta ako X≠ 0 ? Pretvarajmo se to x = 9? Onda 9 * 0 = 0 I 0: 0 = 9 ? I ako x=45, To 0: 0 = 45 .

Zaista možemo podijeliti 0 on 0 . Ali ova jednačina će imati beskonačan broj rješenja, budući da 0: 0 = bilo šta.

Zašto 0: 0 = NaN

Da li ste ikada pokušali da podelite 0 on 0 na pametnom telefonu? Kako nula podijeljena nulom daje apsolutno bilo koji broj, programeri su morali tražiti izlaz iz ove situacije, jer kalkulator ne može zanemariti vaše zahtjeve. I pronašli su jedinstven izlaz: kada podijelite nulu sa nulom, dobijete NaN (nije broj).

Zašto x: 0 =∞ A x: -0 = — ∞

Ako pokušate podijeliti bilo koji broj sa nulom na svom pametnom telefonu, odgovor će biti jednak beskonačnosti. Stvar je u tome u matematici 0 ponekad se smatra ne kao "ništa", već kao "beskonačno mala količina". Stoga, ako se bilo koji broj podijeli s beskonačno malom vrijednošću, rezultat je beskonačno velika vrijednost (∞) .

Dakle, da li je moguće podijeliti sa nulom?

Odgovor je, kao što je to često slučaj, dvosmislen. U školi je to najbolje zabilježiti na nosu Ne možete podijeliti sa nulom- ovo će vas spasiti od nepotrebnih poteškoća. Ali ako se upišete na odsjek matematike na fakultetu, i dalje ćete morati dijeliti sa nulom.

Broj 0 može se zamisliti kao određena granica koja odvaja svijet realnih brojeva od imaginarnih ili negativnih. Zbog dvosmislene pozicije, mnoge operacije s ovom numeričkom vrijednošću ne podliježu matematičkoj logici. Nemogućnost dijeljenja sa nulom je odličan primjer za to. A dozvoljene aritmetičke operacije sa nulom mogu se izvesti koristeći opšte prihvaćene definicije.

Istorija nule

Nula je referentna tačka u svim standardnim sistemima brojeva. Evropljani su ovaj broj počeli koristiti relativno nedavno, ali su mudraci drevne Indije koristili nulu hiljadu godina prije nego što su evropski matematičari redovno koristili prazan broj. Čak i prije Indijanaca, nula je bila obavezna vrijednost u numeričkom sistemu Maja. Ovi Amerikanci su koristili duodecimalni brojevni sistem, a prvi dan svakog mjeseca počinjao je nulom. Zanimljivo je da se kod Maja znak koji označava "nula" potpuno poklapao sa znakom koji označava "beskonačnost". Tako su drevne Maje zaključile da su te količine identične i nespoznatljive.

Matematičke operacije sa nulom

Standardne matematičke operacije sa nulom mogu se svesti na nekoliko pravila.

Dodatak: ako proizvoljnom broju dodate nulu, to neće promijeniti njegovu vrijednost (0+x=x).

Oduzimanje: Prilikom oduzimanja nule od bilo kojeg broja, vrijednost oduzimanja ostaje nepromijenjena (x-0=x).

Množenje: Bilo koji broj pomnožen sa 0 daje 0 (a*0=0).

Podjela: Nula se može podijeliti bilo kojim brojem koji nije jednak nuli. U ovom slučaju, vrijednost takvog razlomka će biti 0. A dijeljenje nulom je zabranjeno.

Eksponencijacija. Ova radnja se može izvesti s bilo kojim brojem. Proizvoljan broj podignut na nulti stepen će dati 1 (x 0 =1).

Nula na bilo koji stepen je jednaka 0 (0 a = 0).

U ovom slučaju odmah nastaje kontradikcija: izraz 0 0 nema smisla.

Paradoksi matematike

Mnogi ljudi iz škole znaju da je dijeljenje sa nulom nemoguće. Ali iz nekog razloga je nemoguće objasniti razlog takve zabrane. Zapravo, zašto formula za dijeljenje sa nulom ne postoji, ali su druge radnje s ovim brojem sasvim razumne i moguće? Odgovor na ovo pitanje daju matematičari.

Stvar je u tome da uobičajene aritmetičke operacije koje školarci uče u osnovnoj školi, zapravo, nisu ni približno jednake kao što mislimo. Sve jednostavne operacije s brojevima mogu se svesti na dvije: zbrajanje i množenje. Ove radnje čine suštinu samog koncepta broja, a ostale operacije su izgrađene na upotrebi ova dva.

Zbrajanje i množenje

Uzmimo standardni primjer oduzimanja: 10-2=8. U školi to jednostavno smatraju: ako od deset predmeta oduzmete dva, ostaje osam. Ali matematičari na ovu operaciju gledaju potpuno drugačije. Uostalom, takva operacija kao što je oduzimanje za njih ne postoji. Ovaj primjer se može napisati na drugi način: x+2=10. Za matematičare, nepoznata razlika je jednostavno broj koji treba dodati dva da bi se dobilo osam. I ovdje nije potrebno oduzimanje, samo trebate pronaći odgovarajuću brojčanu vrijednost.

Množenje i dijeljenje se tretiraju na isti način. U primjeru 12:4=3 možete razumjeti da govorimo o podjeli osam predmeta na dvije jednake gomile. Ali u stvarnosti, ovo je samo obrnuta formula za pisanje 3x4 = 12. Takvi primjeri dijeljenja mogu se davati beskonačno.

Primjeri za dijeljenje sa 0

Ovdje postaje malo jasno zašto ne možete podijeliti sa nulom. Množenje i dijeljenje nulom slijede svoja vlastita pravila. Svi primjeri dijeljenja ove količine mogu se formulirati kao 6:0 = x. Ali ovo je obrnuta notacija izraza 6 * x=0. Ali, kao što znate, svaki broj pomnožen sa 0 daje u proizvodu samo 0. Ovo svojstvo je inherentno samom konceptu nulte vrijednosti.

Ispostavilo se da ne postoji takav broj koji, kada se pomnoži sa 0, daje bilo kakvu opipljivu vrijednost, odnosno ovaj problem nema rješenje. Ne treba da se plašite ovog odgovora; to je prirodan odgovor za probleme ovog tipa. Samo što rekord 6:0 nema nikakvog smisla i ne može ništa da objasni. Ukratko, ovaj izraz se može objasniti besmrtnim „podjela na nulu je nemoguća“.

Postoji li operacija 0:0? Zaista, ako je operacija množenja sa 0 legalna, može li se nula podijeliti sa nulom? Na kraju krajeva, jednadžba oblika 0x 5=0 je sasvim legalna. Umjesto broja 5 možete staviti 0, proizvod se neće promijeniti.

Zaista, 0x0=0. Ali još uvijek ne možete podijeliti sa 0. Kao što je rečeno, dijeljenje je jednostavno obrnuto od množenja. Dakle, ako u primjeru 0x5=0, trebate odrediti drugi faktor, dobijamo 0x0=5. Ili 10. Ili beskonačnost. Deljenje beskonačnosti sa nulom - kako vam se sviđa?

Ali ako se bilo koji broj uklapa u izraz, onda to nema smisla; ne možemo izabrati samo jedan od beskonačnog broja brojeva. A ako jeste, to znači da izraz 0:0 nema smisla. Ispada da se ni sama nula ne može podijeliti sa nulom.

Viša matematika

Deljenje sa nulom je glavobolja za školsku matematiku. Matematička analiza koja se izučava na tehničkim univerzitetima malo proširuje koncept problema koji nemaju rješenja. Na primjer, već poznatom izrazu 0:0 dodaju se novi, koji nemaju rješenja u školskim predmetima matematike:

• beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću: ?:?;
• beskonačnost minus beskonačnost: ???;
• jedinica podignuta na beskonačnu snagu: 1 ? ;
• beskonačnost pomnožena sa 0: ?*0;
• neke druge.

Nemoguće je riješiti takve izraze elementarnim metodama. Ali viša matematika, zahvaljujući dodatnim mogućnostima za niz sličnih primjera, daje konačna rješenja. To je posebno vidljivo u razmatranju problema iz teorije granica.

Unlocking Uncertainty

U teoriji granica, vrijednost 0 je zamijenjena uslovnom infinitezimalnom varijablom. I izrazi u kojima se, prilikom zamjene željene vrijednosti, dobije podjela sa nulom, transformiraju se. Ispod je standardni primjer proširenja granice korištenjem običnih algebarskih transformacija:

Kao što možete vidjeti u primjeru, jednostavno smanjenje razlomka dovodi njegovu vrijednost do potpuno racionalnog odgovora.

Kada se razmatraju granice trigonometrijskih funkcija, njihovi izrazi imaju tendenciju da se svedu na prvu izvanrednu granicu. Kada se razmatraju granice u kojima imenilac postaje 0 kada se granica zameni, koristi se druga izuzetna granica.

L'Hopital metoda

U nekim slučajevima, granice izraza mogu se zamijeniti granicama njihovih derivata. Guillaume L'Hopital je francuski matematičar, osnivač francuske škole matematičke analize. On je dokazao da su granice izraza jednake granicama izvoda ovih izraza. U matematičkoj notaciji, njegovo pravilo izgleda ovako.

Trenutno se L'Hopitalova metoda uspješno koristi za rješavanje nesigurnosti tipa 0:0 ili?:?.

Kako podijeliti i pomnožiti sa 0,1; 0,01; 0,001 itd.?

Napišite pravila za dijeljenje i množenje.

Da pomnožite broj sa 0,1, samo trebate pomjeriti decimalni zarez.

Na primjer, bilo je 56 , postalo je 5,6 .

Da biste podijelili istim brojem, morate pomaknuti zarez u suprotnom smjeru:

Na primjer, bilo je 56 , postalo je 560 .

Sa brojem 0,01 sve je isto, ali ga trebate pomjeriti na 2 cifre, a ne na jednu.

Općenito, prenesite onoliko nula koliko vam je potrebno.

Na primjer, postoji broj 123456789.

Morate ga pomnožiti sa 0,000000001

U broju 0,000000001 ima devet nula (takođe brojimo nulu lijevo od decimalnog zareza), što znači da broj 123456789 pomjeramo za 9 cifara:

Bilo je 123456789, a sada je 0,123456789.

Da ne bismo množili, već dijelili istim brojem, pomjeramo se u drugom smjeru:

Bilo je 123456789 a sada je 123456789000000000.

Da bismo pomaknuli cijeli broj na ovaj način, jednostavno mu dodamo nulu. A u razlomku pomičemo zarez.

Deljenje broja sa 0,1 odgovara množenju tog broja sa 10

Deljenje broja sa 0,01 odgovara množenju tog broja sa 100

Deljenjem sa 0,001 se množi sa 1000.

Da bismo lakše zapamtili, čitamo broj kojim trebamo podijeliti s desna na lijevo, ne obraćajući pažnju na zarez, i množimo s rezultirajućim brojem.

Primjer: 50: 0,0001. Ovo je isto kao 50 pomnoženo sa (čitaj s desna na lijevo bez zareza - 10000) 10000. Ispada 500000.

Ista stvar sa množenjem, samo obrnuto:

400 x 0,01 je isto kao i dijeljenje 400 sa (čitaj s desna na lijevo bez zareza - 100) 100: 400: 100 = 4.

Za one kojima je zgodnije pomicati zareze udesno prilikom dijeljenja i ulijevo prilikom množenja pri množenju i dijeljenju takvim brojevima, možete to učiniti.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Podjela decimalom

I. Da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, trebate pomaknuti zareze u djelitelju i djelitelju onoliko cifara udesno koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijeliti prirodnim brojem.

Primary.

Izvrši podjelu: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Rješenje.

Primjer 1) 16,38: 0,7.

U razdjelniku 0,7 postoji jedna cifra iza decimalnog zareza, pa pomjerimo zareze u dividendi i djelitelju za jednu cifru udesno.

Onda ćemo morati da se podelimo 163,8 on 7 .

Izvršimo dijeljenje prema pravilu za dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Dijelimo kao što se dijele prirodni brojevi. Kako ukloniti broj 8 - prva cifra iza decimalnog zareza (tj. cifra na mjestu desetine), dakle odmah stavite zarez u količnik i nastavite sa podjelom.

Odgovor: 23.4.

Primjer 2) 15,6: 0,15.

Pomjeramo zareze u dividendi ( 15,6 ) i djelitelj ( 0,15 ) dvije cifre desno, budući da je u djelitelju 0,15 postoje dvije cifre iza decimalnog zareza.

Sjećamo se da decimalnom razlomku na desnoj strani možete dodati onoliko nula koliko želite, a to neće promijeniti decimalni razlomak.

15,6:0,15=1560:15.

Vršimo dijeljenje prirodnih brojeva.

Odgovor: 104.

Primjer 3) 3,114: 4,5.

Pomjerite zareze u dividendi i djelitelju za jednu cifru udesno i podijelite 31,14 on 45 prema pravilu za dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem.

3,114:4,5=31,14:45.

U količnik stavljamo zarez čim uklonimo broj 1 na desetom mestu. Zatim nastavljamo sa podjelom.

Da bismo završili podjelu, morali smo dodijeliti nula na broj 9 - razlike između brojeva 414 I 405 . (znamo da se nule mogu dodati na desnu stranu decimalnog razlomka)

Odgovor: 0,692.

Primjer 4) 53,84: 0,1.

Premjestite zareze u dividendi i djelitelju na 1 broj na desnoj strani.

Dobijamo: 538,4:1=538,4.

Analizirajmo jednakost: 53,84:0,1=538,4. Obratite pažnju na zarez u dividendi u ovom primjeru i zarez u rezultirajućem količniku. Primjećujemo da je zarez u dividendi pomjeren na 1 broj desno, kao da množimo 53,84 on 10. (Pogledajte video “Množenje decimale sa 10, 100, 1000, itd.”) Otuda i pravilo za dijeljenje decimale sa 0,1; 0,01; 0,001 itd.

II. Podijeliti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, itd., trebate pomjeriti decimalni zarez udesno za 1, 2, 3, itd. znamenke. (Dijeljenje decimale sa 0,1, 0,01, 0,001, itd. je isto kao i množenje te decimale sa 10, 100, 1000, itd.)

Primjeri.

Izvrši podjelu: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Rješenje.

Primjer 1) 617,35: 0,1.

Po pravilu II podjela po 0,1 je ekvivalentno množenju sa 10 , i pomaknite zarez u dividendi 1 cifra desno:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Primjer 2) 0,235: 0,01.

Division by 0,01 je ekvivalentno množenju sa 100 , što znači da pomičemo zarez u dividendi on 2 cifre desno:

2) 0,235:0,01=23,5.

Primjer 3) 2,7845: 0,001.

Jer podjela po 0,001 je ekvivalentno množenju sa 1000 , zatim pomjerite zarez 3 cifre desno:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Primjer 4) 26,397: 0,0001.

Podijelite decimalu sa 0,0001 - to je isto kao i pomnožiti sa 10000 (pomeri zarez sa 4 cifre u pravu). Dobijamo:

www.mathematics-repetition.com

Množenje i dijeljenje brojevima oblika 10, 100, 0,1, 0,01

Ovaj video vodič je dostupan uz pretplatu

Već imate pretplatu? Da uđem

Ova lekcija će se baviti načinom množenja i dijeljenja brojevima u obliku 10, 100, 0,1, 0,001. Različiti primjeri na ovu temu također će biti riješeni.

Množenje brojeva sa 10, 100

Vježbajte. Kako pomnožiti broj 25,78 sa 10?

Decimalni zapis datog broja je stenografski zapis za iznos. Potrebno ga je detaljnije opisati:

Dakle, morate pomnožiti iznos. Da biste to učinili, možete jednostavno pomnožiti svaki pojam:

Ispostavilo se da...

Možemo zaključiti da je množenje decimalnog razlomka sa 10 vrlo jednostavno: trebate pomaknuti decimalni zarez na jednu desnu poziciju.

Vježbajte. Pomnožite 25,486 sa 100.

Množenje sa 100 je isto kao i množenje sa 10 dvaput. Drugim riječima, trebate dvaput pomjeriti decimalni zarez udesno:

Deljenje brojeva sa 10, 100

Vježbajte. Podijelite 25,78 sa 10.

Kao iu prethodnom slučaju, potrebno je da broj 25,78 predstavite kao zbroj:

Pošto trebate podijeliti zbir, ovo je jednako dijeljenju svakog člana:

Ispostavilo se da da biste podijelili sa 10, trebate pomaknuti decimalni zarez za jednu poziciju ulijevo. Na primjer:

Vježbajte. Podijelite 124,478 sa 100.

Dijeljenje sa 100 je isto kao i dijeljenje sa 10 dvaput, tako da se decimalni zarez pomiče ulijevo za 2 mjesta:

Pravilo množenja i dijeljenja sa 10, 100, 1000

Ako decimalni razlomak treba pomnožiti sa 10, 100, 1000 i tako dalje, trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za onoliko pozicija koliko ima nula u množitelju.

Suprotno tome, ako decimalni razlomak treba podijeliti sa 10, 100, 1000 i tako dalje, trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za onoliko pozicija koliko ima nula u množitelju.

Primjeri kada je potrebno pomjeriti zarez, ali više nema brojeva

Množenje sa 100 znači pomicanje decimalnog mjesta dva mjesta udesno.

Nakon pomaka, možete otkriti da nema više cifara iza decimalnog zareza, što znači da nedostaje razlomak. Tada nema potrebe za zarezom, broj je cijeli broj.

Potrebno je da se pomerite za 4 pozicije udesno. Ali postoje samo dvije cifre iza decimalnog zareza. Vrijedi zapamtiti da postoji ekvivalentna oznaka za razlomak 56,14.

Sada je množenje sa 10.000 jednostavno:

Ako nije baš jasno zašto možete dodati dvije nule razlomku u prethodnom primjeru, onda dodatni video na linku može pomoći u tome.

Ekvivalentne decimalne oznake

Unos 52 znači sljedeće:

Ako stavimo 0 ispred, dobićemo unos 052. Ovi unosi su ekvivalentni.

Da li je moguće staviti dvije nule ispred? Da, ovi unosi su ekvivalentni.

Sada pogledajmo decimalni razlomak:

Ako dodelite nulu, dobijate:

Ovi unosi su ekvivalentni. Slično, možete dodijeliti više nula.

Dakle, bilo koji broj može imati nekoliko nula nakon razlomka i nekoliko nula ispred cijelog broja. To će biti ekvivalentni unosi istog broja.

Pošto dolazi do dijeljenja sa 100, potrebno je pomaknuti decimalni zarez za 2 pozicije ulijevo. Lijevo od decimalnog zareza nema više brojeva. Nedostaje cijeli dio. Ovu notaciju često koriste programeri. U matematici, ako ne postoji cijeli dio, onda na njegovo mjesto stavljaju nulu.

Morate ga pomjeriti ulijevo za tri pozicije, ali postoje samo dvije pozicije. Ako napišete nekoliko nula ispred broja, to će biti ekvivalentna notacija.

Odnosno, pri pomicanju ulijevo, ako ponestane brojeva, morate ih popuniti nulama.

U ovom slučaju, vrijedi zapamtiti da zarez uvijek dolazi iza cijelog dijela. onda:

Množenje i dijeljenje sa 0,1, 0,01, 0,001

Množenje i dijeljenje brojevima 10, 100, 1000 je vrlo jednostavna procedura. Potpuno ista situacija je i sa brojevima 0,1, 0,01, 0,001.

Primjer. Pomnožite 25,34 sa 0,1.

Zapišimo decimalni razlomak 0,1 kao običan razlomak. Ali množenje sa je isto kao i dijeljenje sa 10. Stoga, trebate pomaknuti decimalni zarez za 1 poziciju ulijevo:

Slično, množenje sa 0,01 je dijeljenje sa 100:

Primjer. 5,235 podijeljeno sa 0,1.

Rješenje ovog primjera je konstruirano na sličan način: 0,1 se izražava kao običan razlomak, a dijeljenje sa je isto kao množenje sa 10:

To jest, da biste podijelili sa 0,1, trebate pomaknuti decimalni zarez za jednu poziciju udesno, što je ekvivalentno množenju sa 10.

Pravilo množenja i dijeljenja sa 0,1, 0,01, 0,001

Množenje sa 10 i dijeljenje sa 0,1 je ista stvar. Zarez se mora pomeriti udesno za 1 poziciju.

Deljenje sa 10 i množenje sa 0,1 su ista stvar. Zarez treba pomaknuti udesno za 1 poziciju:

Primjeri rješavanja

Zaključak

U ovoj lekciji proučavana su pravila dijeljenja i množenja sa 10, 100 i 1000. Osim toga, ispitana su pravila množenja i dijeljenja sa 0,1, 0,01, 0,001.

Razmotreni su i riješeni primjeri primjene ovih pravila.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya. Matematika: udžbenik. za 5. razred. opšte obrazovanje uhr. 17th ed. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Matematički zadaci riječi: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Sva školska matematika u samostalnom i testnom radu. Matematika 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Formiranje računarskih vještina u nastavi matematike. Razredi 5–9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Internet portal “Festival pedagoških ideja” (izvor)

2. Internet portal “Matematika-na.ru” (Izvor)

3. Internet portal “School.xvatit.com” (Izvor)

Zadaća

3. Uporedite značenja izraza:

Akcije sa nulom

Broj u matematici nula zauzima posebno mesto. Činjenica je da ona, u suštini, znači „ništa“, „praznina“, ali je njen značaj zaista teško precijeniti. Da biste to učinili, dovoljno je zapamtiti barem s čime tačno nula oznaka i počinje brojanje koordinata položaja tačke u bilo kom koordinatnom sistemu.

Zeroširoko se koristi u decimalnim razlomcima za određivanje vrijednosti "praznih" mjesta, i prije i poslije decimalnog zareza. Uz to je povezano i jedno od osnovnih pravila aritmetike, koje to kaže nula ne može se podijeliti. Njegova logika, striktno govoreći, proizlazi iz same suštine ovog broja: zaista, nemoguće je zamisliti da bi se neka vrijednost različita od njega (pa i on sam) podijelila na „ništa“.

WITH nula izvode se sve aritmetičke operacije, a kao "partneri" mogu koristiti cijele brojeve, obične i decimalne razlomke, a svi oni mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Navedimo primjere njihove implementacije i neka objašnjenja za njih.

Prilikom dodavanja nula na određeni broj (i cijeli i razlomak, i pozitivan i negativan), njegova vrijednost ostaje apsolutno nepromijenjena.

dvadeset četiri plus nula jednako dvadeset i četiri.

Sedamnaest poen tri osmine plus nula jednako sedamnaest zareza tri osmine.

• Obrasci poreskih prijava Predstavljamo Vam obrasce deklaracija za sve vrste poreza i naknada: 1. Porez na dohodak. Pažnja, od 10. februara 2014. godine, izvještaji o porezu na dobit se podnose na osnovu novih uzoraka deklaracija odobrenih Naredbom Ministarstva prihoda br. 872 od 30. decembra 2013. godine.1. 1. Poreska prijava za […]
• Kvadratni zbir Pravila kvadratne razlike Svrha: Izvesti formule za kvadriranje zbira i razlike izraza. Planirani rezultati: naučite koristiti formule kvadrata zbira i kvadrata razlike. Vrsta lekcije: čas prezentacije problema. I. Saopštavanje teme i svrhe časa II. Rad na temu lekcije Prilikom množenja [...]
• Koja je razlika između privatizacije stana sa maloletnom decom i privatizacije bez dece? Osobenosti njihovog učešća, dokumenti Bilo koja transakcija nekretninama zahteva veliku pažnju učesnika. Pogotovo ako planirate privatizovati stan sa maloljetnom djecom. Tako da bude priznat kao validan, i [...]
• Visina državne takse za međunarodni pasoš starog tipa za dijete mlađe od 14 godina i gdje ga platiti Podnošenje zahtjeva državnim agencijama za dobijanje bilo koje usluge uvijek je praćeno plaćanjem državne takse. Za dobijanje stranog pasoša potrebno je platiti i saveznu taksu. Kolika je veličina [...]
• Kako popuniti formular za zamenu pasoša sa 45 godina Pasoši Rusa moraju se zameniti kada napune starosnu oznaku od 20 ili 45 godina. Da biste dobili javnu uslugu, morate podnijeti zahtjev utvrđenog obrasca, priložiti potrebne dokumente i platiti državi […]
• Kako i gdje ozvaničiti ugovor o poklonu za udio u stanu Mnogi građani suočeni su sa takvom zakonskom procedurom kao što je darivanje nekretnina koje su u zajedničkom vlasništvu. Postoji dosta informacija o tome kako pravilno sastaviti ugovor o poklonu za udio u stanu, a nije uvijek pouzdan. Prije nego što počnete, [...]

U školskom kursu aritmetike sve matematičke operacije se izvode sa realnim brojevima. Skup ovih brojeva (ili kontinuirano uređeno polje) ima niz svojstava (aksioma): komutativnost i asocijativnost množenja i sabiranja, postojanje nula, jedan, suprotnih i inverznih elemenata. Takođe, aksiomi reda i kontinuiteta, koji se koriste za komparativnu analizu, omogućavaju određivanje svih svojstava realnih brojeva.

Budući da je dijeljenje inverzna operacija množenja, pri dijeljenju realnih brojeva sa nulom neizbježno nastaju dva nerješiva ​​problema. Prvo, provjera rezultata dijeljenja nulom pomoću množenja nema numerički izraz. Bez obzira koji je broj količnik, ako se pomnoži sa nulom, nemoguće je dobiti dividendu. Drugo, u primjeru 0:0 odgovor može biti apsolutno bilo koji broj, koji kada se pomnoži s djeliteljem uvijek se pretvara u nulu.

Podjela nulom u višoj matematici

Navedene poteškoće dijeljenja sa nulom dovele su do nametanja tabua na ovu operaciju, barem u okviru školskog programa. Međutim, u višoj matematici pronalaze načine da zaobiđu ovu zabranu.

Na primjer, konstruiranjem različite algebarske strukture, različite od poznate brojevne prave. Primjer takve strukture je točak. Ovdje postoje zakoni i pravila. Konkretno, dijeljenje nije vezano za množenje i pretvara se iz binarne operacije (sa dva argumenta) u unarnu operaciju (sa jednim argumentom), označenu simbolom /x.

Do proširenja polja realnih brojeva dolazi zbog uvođenja hiperrealnih brojeva, koji pokrivaju beskonačno velike i beskonačno male veličine. Ovaj pristup nam omogućava da pojam „beskonačnost“ smatramo određenim brojem. Štaviše, kada se brojevna prava širi, ovaj broj gubi predznak, pretvarajući se u idealizovanu tačku koja spaja dva kraja ove prave. Ovaj pristup se može uporediti sa datumskom linijom, kada se pri kretanju između dvije vremenske zone UTC+12 i UTC-12 možete naći u sljedećem ili prethodnom danu. U ovom slučaju, izjava x/0=∞ za bilo koji x≠0 postaje tačna.

Da bi se eliminisala nesigurnost 0/0, uvodi se novi element ⏊=0/0 za točak. Istovremeno, ova algebarska struktura ima svoje nijanse: 0 x≠0; x-x≠0 u opštem slučaju. Također x·/x≠1, pošto se dijeljenje i množenje više ne smatraju inverznim operacijama. Ali ove karakteristike točka su dobro objašnjene korištenjem identiteta distributivnog zakona, koji djeluje nešto drugačije u takvoj algebarskoj strukturi. Detaljnija objašnjenja mogu se naći u stručnoj literaturi.

Algebra, na koju su svi navikli, zapravo je poseban slučaj složenijih sistema, na primjer, istog točka. Kao što vidite, dijeljenje sa nulom moguće je u višoj matematici. Ovo zahtijeva prevazilaženje granica konvencionalnih ideja o brojevima, algebarskim operacijama i zakonima kojima se oni pokoravaju. Iako je to potpuno prirodan proces koji prati svako traženje novog znanja.

Povezani članak

Izvori:

Matematičke operacije s nulom često se razlikuju posebnim pravilima, pa čak i zabranama. Tako svi školarci iz osnovne škole uče pravilo: „Ne možete dijeliti sa nulom“. Postoji još više pravila i konvencija u vezi s negativnim brojevima. Sve to značajno otežava učenikovo razumijevanje gradiva, tako da ponekad nije jasno da li se nula može podijeliti negativnim brojem.

Šta je podjela

Prije svega, da shvatite može li se nula podijeliti negativnim brojem, trebali biste se sjetiti kako se općenito izvodi dijeljenje negativnih brojeva. Matematička operacija dijeljenja je inverzna od množenja.

Ovo se može opisati na sljedeći način: ako su a i b racionalni brojevi, tada dijeljenje a sa b znači pronalaženje broja c koji, kada se pomnoži sa b, rezultira brojem a. Ova definicija dijeljenja vrijedi i za pozitivne i za negativne brojeve sve dok su djelitelji različiti od nule. U ovom slučaju, strogo se poštuje uslov da se ne može dijeliti sa nulom.

Stoga, na primjer, da biste broj 32 podijelili brojem -8, trebali biste pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa brojem -8, rezultirati brojem 32. Ovaj broj će biti -4, jer

(-4) x (-8) = 32. Znakovi se zbrajaju, a minus po minus će na kraju dati plus.

ovako:

Drugi primjeri dijeljenja racionalnih brojeva:

21: 7 = 3, pošto je 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3, pošto je 3 · (−3) = −9.

Pravila za dijeljenje negativnih brojeva

Da biste odredili modul količnika, morate podijeliti modul broja koji se dijeli sa modulom djelitelja. Važno je uzeti u obzir znak oba elementa operacije.

Da biste podijelili dva broja sa istim predznacima, morate podijeliti modul dividende sa modulom djelitelja, a ispred rezultata staviti znak plus.

Da biste podijelili dva broja s različitim predznacima, morate podijeliti modul dividende sa modulom djelitelja, ali ispred rezultata staviti znak minus i nije bitno koji od elemenata, djelitelj ili dividenda , bila negativna.

Navedena pravila i odnosi između rezultata množenja i dijeljenja, poznatih za pozitivne brojeve, vrijede i za sve racionalne brojeve osim nule.

Postoji važno pravilo za nulu: kvocijent nule podijeljen s bilo kojim brojem koji nije nula je također nula.

0: b = 0, b ≠ 0. Štaviše, b može biti i pozitivan i negativan broj.

Dakle, možemo zaključiti da se nula može podijeliti negativnim brojem, a rezultat će uvijek biti nula.

Stroga zabrana dijeljenja sa nulom uvedena je čak iu nižim razredima škole. Djeca obično ne razmišljaju o razlozima, ali zapravo je znati zašto je nešto zabranjeno i zanimljivo i korisno.

Aritmetičke operacije

Aritmetičke operacije koje se izučavaju u školi nisu ekvivalentne sa stanovišta matematičara. Oni priznaju samo dvije od ovih operacija kao valjane - zbrajanje i množenje. Oni su uključeni u sam pojam broja, a sve druge radnje s brojevima su na ovaj ili onaj način izgrađene na ova dva. Odnosno, ne samo da je dijeljenje sa nulom nemoguće, već je dijeljenje općenito nemoguće.

Oduzimanje i dijeljenje

Šta nedostaje ostalim akcijama? Opet, iz škole znamo da, na primjer, oduzeti četiri od sedam znači uzeti sedam slatkiša, pojesti ih četiri i prebrojati one koji ostanu. Ali matematičari ih, kada jedu slatkiše i općenito, doživljavaju potpuno drugačije. Za njih postoji samo sabiranje, odnosno oznaka 7 - 4 znači broj koji će, kada se doda broju 4, biti jednak 7. To jest, za matematičare, 7 - 4 je kratka oznaka jednačine : x + 4 = 7. Ovo nije oduzimanje, već problem - pronađite broj koji treba staviti umjesto x.

Isto vrijedi i za dijeljenje i množenje. Podijelivši deset sa dva, učenik mlađih razreda stavlja deset bombona u dvije identične hrpe. Matematičar i ovdje vidi jednačinu: 2 x = 10.

Ovo objašnjava zašto je dijeljenje nulom zabranjeno: to je jednostavno nemoguće. Unos 6:0 treba da se pretvori u jednačinu 0 · x = 6. To jest, potrebno je pronaći broj koji se može pomnožiti sa nulom i dobiti 6. Ali poznato je da množenje sa nulom uvijek daje nulu. Ovo je suštinsko svojstvo nule.

Dakle, ne postoji broj koji bi, kada se pomnoži sa nulom, dao neki drugi broj osim nule. To znači da ova jednačina nema rješenja, nema broja koji bi korelirao sa zapisom 6:0, odnosno nema smisla. Govore o njegovoj besmislenosti kada je dijeljenje sa nulom zabranjeno.

Da li je nula deljiva sa nulom?

Da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? Jednačina 0 · x = 0 ne izaziva nikakve poteškoće, a možete uzeti ovu nulu za x i dobiti 0 · 0 = 0. Tada je 0: 0 = 0? Ali, ako, na primjer, uzmemo jedan kao x, također ćemo dobiti 0 1 = 0. Možete uzeti bilo koji broj za x i podijeliti sa nulom, a rezultat će ostati isti: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51, i tako dalje.

Dakle, apsolutno bilo koji broj se može ubaciti u ovu jednačinu, a nemoguće je odabrati bilo koji određeni, nemoguće je odrediti koji je broj označen oznakom 0: 0. To jest, ova oznaka također nema smisla, a podjela nulom je još uvijek nemoguće: nije čak ni djeljivo sam po sebi.

Ovo je važna karakteristika operacije dijeljenja, odnosno množenja i pridruženog broja nula.

Ostaje pitanje: da li je to moguće oduzeti? Moglo bi se reći da prava matematika počinje ovim zanimljivim pitanjem. Da biste pronašli odgovor na njega, morate naučiti formalne matematičke definicije skupova brojeva i upoznati se s operacijama na njima. Na primjer, ne postoje samo jednostavne, već i njihova podjela se razlikuje od podjele običnih. Ovo nije uključeno u školski program, ali univerzitetska predavanja iz matematike počinju time.

Matematičko pravilo o dijeljenju nulom učili su svi ljudi u prvom razredu srednje škole. “Ne možete dijeliti sa nulom”, sve su nas učili i zabranjeno nam je, pod prijetnjom šamara po glavi, dijeliti sa nulom i općenito razgovarati o ovoj temi. Iako su neki učitelji u osnovnim školama ipak pokušavali jednostavnim primjerima da objasne zašto se ne treba dijeliti sa nulom, ovi primjeri su bili toliko nelogični da je bilo lakše samo zapamtiti ovo pravilo i ne postavljati nepotrebna pitanja. Ali svi ovi primjeri su bili nelogični iz razloga što nam nastavnici to nisu mogli logički objasniti u prvom razredu, jer u prvom razredu nismo ni znali šta je jednačina, a ovo matematičko pravilo se može logički objasniti samo sa pomoć jednačina.

Svi znaju da dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom rezultira prazninom. Kasnije ćemo pogledati zašto je praznina.

Općenito, u matematici su samo dva postupka s brojevima priznata kao nezavisna. To su sabiranje i množenje. Preostale procedure se smatraju derivatima ova dva postupka. Pogledajmo ovo na primjeru.

Reci mi koliko će to biti, na primjer, 11-10? Svi ćemo odmah odgovoriti da će biti 1. Kako smo našli takav odgovor? Neko će reći da je već jasno da će biti 1, neko će reći da je od 11 jabuka oduzeo 10 i izračunao da je ispala jedna jabuka. Sa logičke tačke gledišta, sve je točno, ali prema zakonima matematike, ovaj problem se rješava drugačije. Neophodno je zapamtiti da su glavni postupci sabiranje i množenje, pa je potrebno napraviti sljedeću jednačinu: x+10=11, a tek onda x=11-10, x=1. Imajte na umu da prvo dolazi sabiranje, a tek onda, na osnovu jednačine, možemo oduzimati. Čini se, zašto toliko procedura? Uostalom, odgovor je već očigledan. Ali samo takvi postupci mogu objasniti nemogućnost dijeljenja nulom.

Na primjer, radimo sljedeći matematički problem: želimo podijeliti 20 sa nulom. Dakle, 20:0=x. Da biste saznali koliko će to biti, morate zapamtiti da postupak dijeljenja slijedi iz množenja. Drugim riječima, dijeljenje je izvedeni postupak iz množenja. Stoga, morate napraviti jednačinu od množenja. Dakle, 0*x=20. Ovdje dolazi ćorsokak. Bez obzira koji broj pomnožimo sa nulom, on će i dalje biti 0, ali ne i 20. Ovdje slijedi pravilo: ne možete dijeliti nulom. Možete podijeliti nulu sa bilo kojim brojem, ali nažalost, ne možete podijeliti broj sa nulom.

Ovo otvara još jedno pitanje: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? Dakle, 0:0=x, što znači 0*x=0. Ova jednačina se može riješiti. Uzmimo, na primjer, x=4, što znači 0*4=0. Ispada da ako podijelite nulu sa nulom, dobijete 4. Ali ni ovdje sve nije tako jednostavno. Ako uzmemo, na primjer, x=12 ili x=13, onda će izaći isti odgovor (0*12=0). Općenito, bez obzira koji broj zamijenimo, i dalje će biti 0. Dakle, ako je 0:0, onda će rezultat biti beskonačnost. Ovo je jednostavna matematika. Nažalost, postupak dijeljenja nule sa nulom također je besmislen.

Općenito, broj nula u matematici je najzanimljiviji. Na primjer, svi znaju da bilo koji broj na nultu potenciju daje jedan. Naravno, u stvarnom životu ne nailazimo na takav primjer, ali životne situacije s podjelom na nulu nailaze se vrlo često. Zato zapamtite da ne možete dijeliti sa nulom.