Главная » Плоская » Таблица сложных интегралов полная. Основные методы интегрирования. Интегрирование суммы функций

Таблица сложных интегралов полная. Основные методы интегрирования. Интегрирование суммы функций

Определение 1

Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $$ - это функция , которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:

Определение 2

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.

Пример 1

Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]

Пример 2

Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 3

Проверить справедливость формулы 11" из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.

\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 4

Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.

$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 5

Проверить справедливость формулы 13" из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.

\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 6

Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]

Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]

Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.

Пример 7

Найти интеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

По таблице интегралов:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]

При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]

Следовательно,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C и ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная y = C

C " = 0

Степенная функция y = x p .

(x p) " = p · x p - 1

Постоянная y = C

d (C) = 0 · d x

Степенная фунция y = x p .

d (x p) = p · x p - 1 · d x

(a x) " = a x · ln a

Показательная функция y = a x .

d (a x) = a x · ln α · d x

В частности при a = e имеем y = e x

d (e x) = e x · d x

log a x " = 1 x · ln a

Логарифмические функия y = log a x .

d (log a x) = d x x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

d (ln x) = d x x

Тригонометрические функции.

sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Тригонометрические функции.

d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x

a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2

Обратные тригонометрические фунции.

d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f (x) = x p .

Согласно таблице дифференциалов d (x p) = p · x p - 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .

Примем равным - 1 , найдем множество первообразных степенной функции f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d (ln x) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Пример 1

Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C

Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Пример 2

Необходимо найти множество первообразных функции f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Используем правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Получаем ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Ответ: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Интегрирование - это одна из основных операций в матанализе. Таблицы известных первообразных могут быть полезны, но сейчас они, после появления систем компьютерной алгебры, теряют свою значимость. Ниже находится список больше всего встречающихся первообразных.

Таблица основных интегралов

Другой, компактный вариант

Таблица интегралов от тригонометрических функций

От рациональных функций

От иррациональных функций

Интегралы от трансцендентных функций

"C" – произвольная константа интегрирования, которая определяется, если известно значение интеграла в какой-либо точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.

У большинства школьников и студентов бывают проблемы с вычислением интегралов. На этой странице собраны таблицы интегралов от тригонометрических, рациональных, иррациональных и трансцендентных функций, которые помогут в решении. Еще вам поможет таблица производных .

Видео - как находить интегралы

Если вам не совсем понятна данная тема, посмотрите видео, в котором всё подробно объясняется.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые иногда называют табличными:

Любую из приведенных выше формул можно доказать, взяв производную от правой части (в результате будет получены подынтегральная функция).

Методы интегрирования

Рассмотрим некоторые основные методы интегрирования. К ним относятся:

1. Метод разложения (непосредственного интегрирования ).

Этот методоснован на непосредственном применении табличных интегралов, а также на применении свойств 4 и 5 неопределенного интеграла (т.е. на выносе за скобку постоянного сомножителя и/или представления подынтегральной функции в виде суммы функций – разложения подынтегральной функции на слагаемые).

Пример 1. Например, для нахождения(dx/x 4) можно непосредственно воспользоваться табличным интегралом дляx n dx. В самом деле,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Пример 2. Для нахождениявоспользуемся тем же интегралом:

Пример 3. Для нахождениянадо взять

Пример 4. Чтобы найти, представим подынтегральную функцию в видеи используем табличный интеграл для показательной функции:

Рассмотрим использование выноса за скобку постоянного сомножителя.

Пример 5. Найдем, например. Учитывая, что, получим

Пример 6. Найдем. Поскольку, воспользуемся табличным интеграломПолучим

В следующих двух примерах также можно использовать вынос за скобки и табличные интегралы:

Пример 7.

(используем и);

Пример 8.

(используем и).

Рассмотрим более сложные примеры, в которых используется интеграл суммы.

Пример 9. Например, найдем
. Для применения метода разложения в числителе используем формулу куба суммы  , а затем полученный многочлен почленно разделим на знаменатель.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Следует отметить, что в конце решения записана одна общая постоянная С (а не отдельные при интегрировании каждого слагаемого). В дальнейшем также предлагается опускать в процессе решения постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл (будем записывать одну постоянную в конце решения).

Пример 10. Найдем. Для решения этой задачи разложим на множители числитель (после этого удастся сократить знаменатель).

Пример 11. Найдем. Здесь можно использовать тригонометрические тождества.

Иногда, чтобы разложить выражение на слагаемые, приходится применять более сложные приемы.

Пример 12. Найдем. В подынтегральной функции выделим целую часть дроби. Тогда

Пример 13. Найдем

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод основан на следующей формуле: f(x)dx=f((t))`(t)dt, где x =(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной tот левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = (t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее поt, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производная от правой части:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= 1 – 2x, тогда

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдемcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогдаcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d(3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t=kx+b(k0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . ПустьF(х) - некоторая первообразная для функцииf(х). Тогдаf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, где k и b - некоторые постоянные,k0.

Доказательство.

По определению интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Вынесем постоянный множительkза знак интеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства наkи получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла f(x)dx= F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx+b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/kперед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесьkx+b= 3 –x, т.е.k= -1,b= 3. Тогда

Пример 4.

Найдем. Здесьkx+b= 4x+ 3, т.е.k= 4,b= 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесьkx+b= -2x+ 7, т.е.k= -2,b= 7. Тогда

Пример 6. Найдем
. Здесьkx+b= 2x+ 0, т.е.k= 2,b= 0.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ
. Сравним полученные результаты:. Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем
. Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем. Заменимt=x+ 2, тогдаdt=d(x+ 2) =dx. Тогда

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместоtвыражения (x+ 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x– 6).

Пример 9. Найдем
. Пустьt= 2x+ 1, тогдаdt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Подставим вместо tвыражение (2x+ 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= -x 2 . Далее можно было бы выразить х черезt, затем найти выражение для dxи реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдемdt=d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражениеxdxявляется сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенстваxdx= - ½dt. Тогда