Persamaan derajat yang lebih tinggi. Persamaan pangkat atau eksponensial Persamaan derajat ke-5

Kelas: 9

Tujuan dasar:

1. Untuk mengkonsolidasikan konsep seluruh persamaan rasional derajat.
2. Merumuskan metode utama untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3).
3. Untuk mengajarkan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi.
4. Untuk mengajar dengan jenis persamaan untuk menentukan cara yang paling efektif untuk menyelesaikannya.

Bentuk, metode, dan teknik pedagogis yang digunakan guru dalam pembelajaran:

• Sistem kuliah-seminar pelatihan (ceramah - penjelasan materi baru, seminar - pemecahan masalah).
• Teknologi informasi dan komunikasi (survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas).
• Pengajaran dibedakan, bentuk kelompok dan individu.
• Penggunaan metode penelitian dalam pengajaran, bertujuan untuk mengembangkan aparatus matematis dan kemampuan berpikir setiap siswa tertentu.
• Materi tercetak - ringkasan singkat individu dari pelajaran (konsep dasar, rumus, pernyataan, materi kuliah dikompresi dalam bentuk diagram atau tabel).

Rencana belajar:

1. Mengatur waktu.
   Tujuan tahapan: mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pendidikan, menentukan isi pelajaran.
2. Memperbarui pengetahuan siswa.
   Tujuan dari tahap: untuk memperbarui pengetahuan siswa tentang topik terkait yang dipelajari sebelumnya
3. Mempelajari topik baru (ceramah). Tujuan dari tahap: untuk merumuskan metode utama untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3)
4. Meringkas.
   Tujuan dari tahap: sekali lagi menyoroti poin-poin penting dalam materi yang dipelajari dalam pelajaran.
5. Pekerjaan rumah.
   Tujuan dari tahap: untuk merumuskan pekerjaan rumah bagi siswa.

Ringkasan pelajaran

1. Momen organisasi.

Rumusan topik pelajaran: “Persamaan derajat tertinggi. Metode penyelesaiannya”.

2. Aktualisasi pengetahuan siswa.

Survei teoretis - percakapan. Pengulangan beberapa informasi yang dipelajari sebelumnya dari teori. Siswa merumuskan definisi dasar dan merumuskan teorema yang diperlukan. Contoh diberikan untuk menunjukkan tingkat pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

• Konsep persamaan dalam satu variabel.
• Konsep akar persamaan, solusi persamaan.
• Konsep persamaan linear dalam satu variabel, konsep persamaan kuadrat dalam satu variabel.
• Konsep kesetaraan persamaan, persamaan-konsekuensi (konsep akar asing), transisi bukan oleh akibat wajar (kasus hilangnya akar).
• Konsep ekspresi rasional keseluruhan dengan satu variabel.
• Konsep persamaan rasional utuh n- gelar. Bentuk standar dari seluruh persamaan rasional. Mengurangi seluruh persamaan rasional.
• Transisi ke satu set persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan asli menjadi faktor.
• Konsep polinomial n-gelar dari x... teorema Bezout. Konsekuensi dari teorema Bezout. Teorema akar ( Z-akar dan Q-akar) dari seluruh persamaan rasional dengan koefisien bilangan bulat (masing-masing dikurangi dan tidak dikurangi).
• skema Horner.

3. Mempelajari topik baru.

Kami akan mempertimbangkan seluruh persamaan rasional n-tingkat bentuk standar dengan satu variabel yang tidak diketahui x: P n (x)= 0, dimana P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polinomial n-gelar dari x, sebuah n 0. Jika sebuah n = 1 maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional utuh tereduksi n- gelar. Pertimbangkan persamaan tersebut untuk nilai yang berbeda n dan daftar metode utama untuk menyelesaikannya.

n= 1 - persamaan linier.

n= 2 - persamaan kuadrat. Formula diskriminan. Rumus untuk menghitung akar. teorema Vieta. Memilih persegi lengkap.

n= 3 - persamaan kubik.

Metode pengelompokan.

Contoh: x 3 - 4x 2 - x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Persamaan kubik terbalik dari bentuk kapak 3 + bx 2 + bx + sebuah= 0. Selesaikan dengan menggabungkan suku-suku dengan koefisien yang sama.

Contoh: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Pemilihan akar-Z berdasarkan teorema. skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam kasus ini terbatas, dan kami memilih akar sesuai dengan algoritma tertentu sesuai dengan teorema pada Z-akar dari seluruh persamaan rasional tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 = 0. Persamaan yang diberikan. Mari kita tuliskan pembagi dari istilah bebas ( + 1; + 3; + 5; + 15). Mari kita terapkan skema Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	kesimpulan
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - akar
	x 2	x 1	x 0

Kita mendapatkan ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q berdasarkan teorema. skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencacahan dalam hal ini terbatas dan kami memilih akar sesuai dengan algoritma tertentu sesuai dengan teorema pada Q-akar dari seluruh persamaan rasional tak tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: 9 x 3 + 27x 2 – x- 3 = 0. Persamaan tidak dikurangi. Mari kita tuliskan pembagi dari istilah bebas ( + 1; + 3). Mari kita tuliskan pembagi koefisien pada pangkat tertinggi dari yang tidak diketahui. ( + 1; + 3; + 9) Oleh karena itu, kami akan mencari akar di antara nilai-nilai ( + 1; + ; + ; + 3). Mari kita terapkan skema Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	kesimpulan
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 0	1 - bukan root
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 0	-1 - bukan root
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	akar
	x 2	x 1	x 0

Kita mendapatkan ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Untuk kemudahan perhitungan saat memilih Q -akar akan lebih mudah untuk membuat perubahan variabel, buka persamaan tereduksi dan pilih Z -akar.

• Jika suku bebasnya adalah 1

.

• Jika Anda dapat menggunakan substitusi formulir y = kx

.

Formula Cardano. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan kubik - ini adalah rumus Cardano. Rumus ini dikaitkan dengan nama matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipione del Ferro (1465-1526). Formula ini berada di luar cakupan kursus kami.

n= 4 - persamaan derajat keempat.

Metode pengelompokan.

Contoh: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Metode penggantian variabel.

• Persamaan biquadratic dari bentuk kapak 4 + bx 2 + s = 0 .

Contoh: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. Pergantian kamu = x 2. Dari sini kamu 1 = 4, kamu 2 = -9. Jadi x 1,2 = + 2 .

• Persamaan terbalik dari derajat keempat bentuk kapak 4 + bx 3 + c x 2 + bx + sebuah = 0.

Kami memecahkan, menggabungkan istilah dengan koefisien yang sama, dengan mengganti bentuk

• kapak 4 + bx 3 + cx 2 – bx + sebuah = 0.

• Persamaan pengembalian tingkat keempat yang digeneralisasi dari bentuk kapak 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Penggantian pandangan umum. Beberapa penggantian standar.

Contoh 3 . Mengganti tampilan umum(berikut dari bentuk persamaan tertentu).

n = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Memasang akar-Q n = 3.

rumus umum. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Rumus ini dikaitkan dengan nama Ludovico Ferrari (1522-1565). Formula ini berada di luar cakupan kursus kami.

n > 5 - persamaan derajat kelima dan lebih tinggi.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Z berdasarkan teorema. skema Horner. Algoritma ini mirip dengan yang dipertimbangkan di atas untuk n = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Memasang akar-Q berdasarkan teorema. skema Horner. Algoritma ini mirip dengan yang dipertimbangkan di atas untuk n = 3.

Persamaan simetris. Setiap persamaan kembali dengan derajat ganjil memiliki akar x= -1 dan setelah memfaktorkannya menjadi faktor, kita peroleh bahwa satu faktor berbentuk ( x+ 1), dan faktor kedua adalah persamaan balik dari derajat genap (derajatnya lebih kecil satu derajat dari derajat persamaan aslinya). Setiap persamaan kembalian derajat genap bersama-sama dengan akar bentuk x = mengandung akar spesies. Dengan menggunakan pernyataan-pernyataan ini, kita memecahkan masalah dengan menurunkan derajat persamaan yang dipelajari.

Metode penggantian variabel. Menggunakan keseragaman.

Tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan seluruh persamaan tingkat kelima (ini ditunjukkan oleh ahli matematika Italia Paolo Ruffini (1765-1822) dan ahli matematika Norwegia Niels Henrik Abel (1802-1829)) dan derajat yang lebih tinggi (ini ditunjukkan oleh Matematikawan Prancis Evariste Galois (1811-1832) )).

• Mari kita ingat lagi bahwa dalam praktiknya adalah mungkin untuk menggunakan kombinasi metode yang tercantum di atas. Lebih mudah untuk pergi ke satu set persamaan derajat yang lebih rendah dengan faktorisasi dari persamaan asli.
• Banyak digunakan dalam praktik tetap berada di luar cakupan diskusi kita hari ini. metode grafis menyelesaikan persamaan dan metode solusi perkiraan persamaan derajat yang lebih tinggi.
• Ada situasi ketika persamaan tidak memiliki akar-R.
Kemudian solusinya direduksi untuk menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. Untuk membuktikan ini, kami menganalisis perilaku fungsi yang dipertimbangkan pada interval monotonisitas. Contoh: Persamaan x 8 – x 3 + 1 = 0 tidak memiliki akar.
• Menggunakan sifat monoton dari fungsi
... Ada situasi ketika penggunaan berbagai properti fungsi memungkinkan untuk menyederhanakan tugas yang ada.
Contoh 1: persamaan x 5 + 3x- 4 = 0 memiliki satu akar x= 1. Dengan sifat monotonisitas dari fungsi yang dianalisis, tidak ada akar lain.
Contoh 2: Persamaan x 4 + (x- 1) 4 = 97 memiliki akar x 1 = -2 dan x 2 = 3. Setelah menganalisis perilaku fungsi yang sesuai pada interval monoton, kami menyimpulkan bahwa tidak ada akar lain.

4. Menyimpulkan.

Ringkasan: Sekarang kita telah menguasai metode dasar untuk memecahkan berbagai persamaan derajat yang lebih tinggi (untuk n > 3). Tugas kita adalah mempelajari cara efektif menggunakan algoritme yang tercantum di atas. Bergantung pada jenis persamaan, kita harus belajar menentukan metode solusi mana dalam kasus ini yang paling efektif, serta menerapkan metode yang dipilih dengan benar.

5. Pekerjaan rumah.

: hal.7, hal.164-174, No.33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Kemungkinan topik laporan atau abstrak tentang topik ini:

• Formula Cardano
• Metode grafis untuk memecahkan persamaan. Contoh solusi.
• Metode untuk solusi perkiraan persamaan.

Analisis asimilasi materi dan minat siswa pada topik:

Pengalaman menunjukkan bahwa siswa terutama tertarik pada kemungkinan perekrutan Z-akar dan Q-akar persamaan menggunakan algoritma yang cukup sederhana menggunakan skema Horner. Siswa juga tertarik pada berbagai jenis standar substitusi variabel yang dapat sangat menyederhanakan masalah. Metode solusi grafis biasanya menarik. Dalam hal ini, Anda juga dapat membongkar tugas menjadi metode grafis untuk menyelesaikan persamaan; membahas gambaran umum graf polinomial 3, 4, 5 derajat; menganalisis bagaimana jumlah akar persamaan 3, 4, 5 derajat terkait dengan jenis grafik yang sesuai. Di bawah ini adalah daftar buku di mana Anda dapat menemukan informasi tambahan tentang topik ini.

Bibliografi:

1. Vilenkin N.Ya. dkk. “Aljabar. Buku teks untuk siswa kelas 9 dengan studi mendalam tentang matematika ”- M., Education, 2007 - 367 hal.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Di balik halaman buku teks matematika. Hitung. Aljabar. Kelas 10-11 ”- M., Pendidikan, 2008 - 192 hal.
3. Vygodsky M.Ya."Buku Pegangan Matematika" - M., AST, 2010 - 1055 hal.
4. Galitsky M.L.“Kumpulan masalah dalam aljabar. Buku teks untuk kelas 8-9 dengan studi mendalam tentang matematika ”- M., Pendidikan, 2008 - 301 hal.
5. Zvavich L.I. dkk. “Aljabar dan awal analisis. 8-11 kl. Manual untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam ”- M., Bustard, 1999 - 352 hal.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."Tugas dalam matematika untuk mempersiapkan ujian tertulis di kelas 9" - M., Pendidikan, 2007 - 112 hal.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P."Tes tematik untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika" bagian 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 hal.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P."Tes tematik untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika" bagian 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 hal.
9. Ivanov A.P.“Ujian dan ulangan dalam matematika. Tutor". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 hal.
10. Leibson K.L.“Kumpulan latihan praktis dalam matematika. Bagian 2-9 kelas "- M., MCNMO, 2009 - 184 hal.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Aljabar. Bab tambahan untuk buku teks sekolah kelas 9. Sebuah buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi lanjutan matematika." - M., Pendidikan, 2006 - 224 hal.
12. Mordkovich A.G."Aljabar. Studi Lanjutan. kelas 8. Buku teks "- M., Mnemosina, 2006 - 296 hal.
13. A.P. Savin“Kamus Ensiklopedis Ahli Matematika Muda” - M., Pedagogi, 1985 - 352 hal.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.“Materi didaktik tentang aljabar untuk kelas 9 dengan studi mendalam tentang matematika” - M., Education, 2006 - 95 hal.
15. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata kuliah matematika sekolah. Kuliah 1-4 ”- M., 1 September 2006 - 88 hal.
16. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata kuliah matematika sekolah. Kuliah 5–8 ”- M., 1 September 2009 - 84 hal.

Pada abad ke-16, matematikawan menemukan bilangan kompleks hampir secara tidak sengaja (lihat Bab 11). Pada abad ke-18, bilangan kompleks dianggap sebagai perpanjangan dari jangkauan bilangan real, tetapi bekerja dengannya masih menyebabkan kesalahan paritas, karena karya besar Leonard E tentang teori bilangan, Arithmetic Investigations (1801), dihindari menggunakan apa yang disebut " bilangan imajiner.” Tampak bagi saya bahwa bagian terpenting dari pekerjaan ini adalah bukti pertama dari teorema dasar aljabar. Gauss menyadari betapa pentingnya teorema ini, menciptakan beberapa bukti tambahan selama bertahun-tahun. Pada tahun 1849 ia merevisi versi pertama, kali ini menggunakan bilangan kompleks. Dengan menggunakan istilah modern, kita dapat mengatakan bahwa untuk setiap persamaan polinomial berhingga dengan koefisien real atau kompleks, semua akarnya adalah bilangan real atau kompleks. Jadi, kita mendapatkan jawaban negatif atas pertanyaan lama apakah penyelesaian persamaan polinomial orde tinggi memerlukan pembuatan bilangan orde lebih tinggi daripada bilangan kompleks.

Salah satu masalah yang paling sulit dalam aljabar pada waktu itu adalah pertanyaan apakah polinomial orde kelima - quintic - dapat diselesaikan dengan metode aljabar, yaitu dengan bantuan sejumlah langkah aljabar yang terbatas. Sekarang sekolah diajarkan rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, dan sejak abad ke-16, metode serupa telah dikenal untuk memecahkan persamaan derajat ketiga dan keempat (Bab 11). Tetapi tidak ada metode yang ditemukan untuk Quintics. Tampaknya teorema dasar aljabar mengandung prospek jawaban afirmatif, tetapi sebenarnya itu hanya menjamin bahwa solusi ada, tidak mengatakan apa-apa tentang keberadaan rumus yang memberikan solusi eksak (pada saat itu sudah ada perkiraan numerik dan metode grafis). Dan kemudian ada dua jenius matematika dengan nasib tragis.

Niels Henrik Abel (1802–1829) lahir dalam keluarga besar miskin yang tinggal di sebuah desa kecil di Norwegia, sebuah negara yang hancur akibat perang bertahun-tahun dengan Inggris dan Swedia. Guru, yang baik hati kepada bocah itu, memberinya pelajaran privat, tetapi setelah kematian ayahnya, pada usia delapan belas tahun, meskipun usianya masih muda dan kesehatannya rapuh, Abel terpaksa menghidupi keluarganya. Pada tahun 1824, ia menerbitkan sebuah artikel ilmiah di mana ia menyatakan bahwa quintic tidak dapat dipecahkan dengan cara aljabar, seperti halnya polinomial apa pun dengan urutan yang lebih tinggi. Abel percaya bahwa artikel ini akan berfungsi sebagai izinnya ke dunia ilmiah, dan mengirimkannya ke Gauss di Universitas Göttingen. Sayangnya, Gauss tidak akan memotong halaman dengan pisau (pada masa itu setiap pembaca harus melakukan ini) dan tidak membaca artikelnya. Pada tahun 1826, pemerintah Norwegia akhirnya mengalokasikan dana untuk Abel bepergian ke Eropa. Khawatir bahwa kontak pribadi dengan Gauss tidak akan memberinya banyak kegembiraan, ahli matematika memutuskan untuk tidak mengunjungi Göttingen dan malah pergi ke Berlin. Di sana ia berteman dengan August Leopold Crelle (1780–1855), seorang ahli matematika, arsitek dan insinyur yang memberi nasihat kepada Kementerian Pendidikan Prusia tentang matematika. Krell akan menemukan Jurnal Matematika Murni dan Terapan. Maka Abel mendapat kesempatan untuk menyebarluaskan karyanya dan banyak diterbitkan, terutama di edisi awal "Jurnal", yang segera mulai dianggap sebagai publikasi ilmiah yang sangat bergengsi dan berwibawa. Orang Norwegia itu menerbitkan di sana versi panjang dari buktinya bahwa quintic tidak dapat ditentukan dengan metode aljabar. Dan kemudian dia pergi ke Paris. Perjalanan ini sangat mengecewakan Abel, karena dia praktis tidak mendapat dukungan dari ahli matematika Prancis yang sangat dia butuhkan. Ia menjadi dekat dengan Augustin Louis Cauchy (1789-1857), yang pada waktu itu adalah tokoh utama analisis matematika, tetapi memiliki karakter yang sangat kompleks. Seperti yang dikatakan Abel sendiri, "Cauchy gila, dan tidak ada yang bisa dilakukan tentang hal itu, meskipun saat ini dia adalah satu-satunya yang mampu melakukan apa pun dalam matematika." Jika kita mencoba mencari alasan untuk manifestasi ketidakhormatan dan penghinaan yang berasal dari Gauss dan Cauchy, kita dapat mengatakan bahwa quintic mencapai ketenaran tertentu dan menarik perhatian ahli matematika dan ahli asli yang dihormati. Abel kembali ke Norwegia, di mana ia semakin menderita karena TBC. Dia terus mengirim karyanya ke Crelle, tetapi meninggal pada tahun 1829, tidak tahu seberapa besar reputasinya di dunia ilmiah telah tumbuh. Dua hari setelah kematiannya, Abel menerima tawaran untuk mengambil posisi ilmiah di Berlin.

Abel menunjukkan bahwa polinomial apa pun yang lebih tinggi dari orde keempat tidak dapat diselesaikan menggunakan radikal seperti kuadrat, kubik, atau akar yang lebih tinggi. Namun, kondisi eksplisit di mana polinomial ini dapat diselesaikan dalam kasus khusus dan metode penyelesaiannya dirumuskan oleh Galois. Evariste Galois (1811-1832) menjalani kehidupan yang singkat dan penuh peristiwa. Dia adalah seorang matematikawan yang sangat berbakat. Galois keras kepala kepada mereka yang dia anggap kurang berbakat daripada dirinya sendiri, dan pada saat yang sama dia tidak bisa mentolerir ketidakadilan sosial. Dia tidak menunjukkan bakat matematika sampai dia membaca Prinsip-prinsip Geometri Legendre (diterbitkan pada tahun 1794, buku ini adalah buku teks utama untuk seratus tahun ke depan). Kemudian dia benar-benar menelan sisa karya Legendre dan, kemudian, Abel. Antusiasme, kepercayaan diri, dan intoleransinya menyebabkan konsekuensi yang benar-benar mengerikan dalam hubungannya dengan guru dan penguji. Galois mengambil bagian dalam kompetisi untuk masuk ke Ecole Polytechnique - tempat lahir matematika Prancis, tetapi karena kurangnya persiapan, ia gagal dalam ujian. Untuk beberapa waktu setelah bertemu dengan seorang guru baru, yang mengenali bakatnya, dia berhasil mengendalikan emosinya. Pada bulan Maret 1829, Galois menerbitkan makalah pertamanya tentang pecahan lanjutan, yang dianggapnya sebagai karyanya yang paling signifikan. Dia mengirim pesan tentang penemuannya ke Akademi Ilmu Pengetahuan, dan Cauchy berjanji untuk mempresentasikannya, tetapi lupa. Apalagi dia kehilangan manuskrip begitu saja.

Kegagalan kedua Galois saat memasuki Ecole Polytechnique masuk dalam folklor matematika. Dia begitu terbiasa dengan ide-ide matematika yang rumit di kepalanya sehingga dia marah dengan pertengkaran kecil para penguji. Karena penguji kesulitan memahami penjelasannya, dia melemparkan kain papan tulis ke wajah salah satu dari mereka. Segera setelah itu, ayahnya meninggal, yang melakukan bunuh diri sebagai akibat dari intrik gereja. Di pemakamannya, kerusuhan hampir pecah. Pada Februari 1830, Galois menulis tiga artikel berikut, mengirimkannya ke Akademi Ilmu Pengetahuan untuk Grand Prix Matematika. Joseph Fourier, saat itu sekretaris akademi, meninggal tanpa membacanya, dan setelah kematiannya, tidak ada artikel yang ditemukan di antara kertas-kertasnya. Banjir kekecewaan seperti itu akan mencampakkan siapa pun. Galois memberontak terhadap mereka yang berkuasa, karena dia merasa: mereka tidak mengakui jasanya dan menghancurkan ayahnya. Dia terjun langsung ke politik, menjadi seorang republiken yang bersemangat - bukan keputusan paling bijaksana di Prancis pada tahun 1830. Dalam upaya putus asa terakhir, ia mengirim artikel ilmiah ke fisikawan dan matematikawan Prancis terkenal Simeon Denis Poisson (1781-1840), yang sebagai tanggapan menuntut bukti tambahan.

Ini adalah jerami terakhir. Pada tahun 1831, Galois ditangkap dua kali - pertama kali karena diduga menyerukan pembunuhan Raja Louis Philippe, dan kemudian untuk melindunginya - pihak berwenang mengkhawatirkan pemberontakan republik! Kali ini, dia dijatuhi hukuman enam bulan penjara atas tuduhan palsu mengenakan seragam batalion artileri yang dia ikuti secara ilegal. Dibebaskan atas kata kehormatannya, dia mengambil pekerjaan yang membuatnya jijik sama seperti hal lain dalam hidup. Dalam surat kepada teman setianya, Chevalier, orang bisa merasakan kekecewaannya. Pada tanggal 29 Mei 1832, ia menerima tantangan untuk berduel, yang alasannya tidak sepenuhnya dipahami. “Saya menjadi korban genit yang tidak terhormat. Hidup saya padam dalam pertengkaran yang menyedihkan, ”tulisnya dalam Suratnya kepada Semua Partai Republik. Karya Galois yang paling terkenal dibuat sketsa pada malam sebelum duel yang menentukan. Keluhan bertebaran di ladang: "Saya tidak punya waktu lagi, saya tidak punya waktu lagi." Dia terpaksa menyerahkan kepada orang lain presentasi rinci tentang langkah-langkah perantara, yang tidak penting untuk memahami gagasan utama. Dia perlu memercikkan di atas kertas dasar penemuannya - asal-usul dari apa yang sekarang disebut teorema Galois. Dia mengakhiri wasiatnya dengan meminta Chevalier "untuk meminta Jacobi dan Gauss untuk secara terbuka mengungkapkan pendapat mereka, bukan pada kebenaran, tetapi pada pentingnya teorema ini." Pagi-pagi Galois pergi menemui saingannya. Mereka harus menembak dari jarak 25 langkah. Galois terluka dan meninggal di rumah sakit keesokan paginya. Dia baru berusia dua puluh tahun.

Galois mengandalkan karya Lagrange dan Cauchy, tetapi ia mengembangkan metode yang lebih umum. Ini adalah pencapaian yang sangat penting di bidang solusi quintic. Ilmuwan kurang memperhatikan persamaan asli atau interpretasi grafis, dan lebih memikirkan sifat akar itu sendiri. Untuk menyederhanakan, Galois hanya mempertimbangkan apa yang disebut quintics yang tidak dapat direduksi, yaitu yang tidak dapat difaktorkan dalam bentuk polinomial dengan urutan yang lebih rendah (seperti yang kami katakan, untuk persamaan polinomial hingga urutan keempat ada rumus untuk menemukan akar mereka). Secara umum, polinomial tak tereduksi dengan koefisien rasional adalah polinomial yang tidak dapat diurai menjadi polinomial sederhana dengan koefisien rasional. Misal (x 5 - 1) bisa difaktorkan (x-1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), sedangkan (x 5 - 2) tidak dapat direduksi. Tujuan Galois adalah untuk menentukan kondisi di mana semua solusi dari persamaan polinomial umum tak tereduksi dapat ditemukan dalam bentuk radikal.

Kunci penyelesaiannya terletak pada kenyataan bahwa akar-akar persamaan aljabar tak tereduksi tidak bebas, akar-akar tersebut dapat dinyatakan satu sama lain. Hubungan ini diformalkan ke dalam grup dari semua kemungkinan permutasi, yang disebut grup simetri akar - untuk quintic, grup ini berisi 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemen. Algoritma matematika teori Galois sangat kompleks, dan, kemungkinan besar, sebagian karena ini, mereka pada awalnya dipahami dengan sangat sulit. Tetapi setelah tingkat abstraksi memungkinkan untuk beralih dari solusi aljabar persamaan ke struktur aljabar grup yang terkait dengannya, Galois dapat memprediksi solvabilitas persamaan berdasarkan sifat grup tersebut. Selain itu, teorinya juga menyediakan metode untuk menemukan akar-akar ini. Adapun Quintics, matematikawan Joseph Liouville (1809–1882), yang pada tahun 1846 menerbitkan sebagian besar karya Galois dalam Journal of Pure and Applied Mathematics, mencatat bahwa ilmuwan muda itu telah membuktikan "teorema yang indah," dan untuk " persamaan yang tidak dapat direduksi dari derajat asli dapat dipecahkan dalam bentuk radikal, perlu dan cukup bahwa semua akarnya adalah fungsi rasional dari dua di antaranya. Karena ini tidak mungkin untuk quintic, itu tidak dapat diselesaikan dengan bantuan radikal.

Dalam tiga tahun, dunia matematika telah kehilangan dua bintang barunya yang paling terang. Tuduhan dan penilaian kembali nilai-nilai mengikuti, dan Abel dan Galois mencapai pengakuan yang pantas mereka terima, tetapi hanya secara anumerta. Pada tahun 1829, Karl Jacobi, melalui Legendre, mengetahui tentang manuskrip Abel yang "hilang", dan pada tahun 1830 sebuah skandal diplomatik meletus ketika konsul Norwegia di Paris menuntut untuk menemukan artikel oleh rekan senegaranya. Pada akhirnya, Cauchy menemukan artikel itu, tetapi hanya agar artikel itu hilang lagi di akademi! Pada tahun yang sama, Abel dianugerahi Grand Prix dalam Matematika (bersama dengan Jacobi) - tetapi dia sudah mati. Biografinya diterbitkan pada tahun 1841. Pada tahun 1846, Liouville mengedit beberapa manuskrip Galois untuk diterbitkan dan, dalam pendahuluan, menyatakan penyesalannya bahwa akademi pada awalnya menolak karya Galois karena kerumitannya - "memang, kejelasan diperlukan ketika penulis membawa pembaca keluar jalur hutan belantara yang belum dipetakan." Dia melanjutkan: “Galois hilang! Jangan sampai kita terlena dengan kritik yang tidak berguna. Mari kita singkirkan kekurangannya dan lihat manfaatnya!" Buah dari kehidupan singkat Galois dapat ditemukan hanya dalam enam puluh halaman. Editor jurnal matematika untuk kandidat Ecole Normal dan cole Polytechnique mengomentari kasus Galois sebagai berikut: “Seorang pelamar dengan kecerdasan tinggi disaring oleh penguji dengan tingkat pemikiran yang lebih rendah. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

Pertama-tama, halaman kedua karya ini tidak dibebani dengan nama, nama keluarga, deskripsi situasi di masyarakat, gelar dan elegi untuk menghormati beberapa pangeran kikir, yang dompetnya akan dibuka dengan bantuan dupa ini - dengan ancaman menutupnya saat pujian selesai. Anda tidak akan melihat pujian hormat di sini, ditulis dalam huruf tiga kali lebih besar dari teks itu sendiri, ditujukan kepada mereka yang memiliki posisi tinggi dalam sains, pelindung yang bijaksana - sesuatu yang wajib (saya akan mengatakan, tak terhindarkan) untuk seseorang di usia dua puluh yang ingin menulis sesuatu. Saya tidak memberi tahu siapa pun di sini bahwa saya berhutang nasihat dan dukungan mereka untuk semua yang baik dalam pekerjaan saya. Saya tidak mengatakan ini karena itu bohong. Jika saya harus menyebutkan salah satu yang hebat dalam masyarakat atau dalam sains (saat ini, perbedaan antara dua kelas orang hampir tidak terlihat), saya bersumpah, itu tidak akan menjadi tanda terima kasih. Saya berutang kepada mereka fakta bahwa saya menerbitkan yang pertama dari dua artikel ini begitu terlambat, dan bahwa saya menulis semuanya di penjara - di tempat yang hampir tidak dapat dianggap cocok untuk refleksi ilmiah, dan saya sering kagum pada pengekangan dan kemampuan saya untuk menjaga mulutku di kastil dalam kaitannya dengan zoil bodoh dan ganas. Sepertinya saya bisa menggunakan kata "zoiles" tanpa takut dituduh tidak senonoh, karena itulah yang saya sebut lawan saya. Saya tidak akan menulis di sini tentang bagaimana dan mengapa saya dikirim ke penjara, tetapi saya harus mengatakan bahwa manuskrip saya paling sering hilang begitu saja di folder tuan-tuan dari anggota akademi, meskipun, sebenarnya, saya tidak dapat membayangkan ketidakbijaksanaan seperti itu. bagian dari orang-orang yang hati nuraninya kematian Habel. Menurut saya, siapa pun ingin dibandingkan dengan ahli matematika yang brilian ini. Cukuplah untuk mengatakan bahwa makalah saya tentang teori persamaan dikirim ke Academy of Sciences pada Februari 1830, bahwa ekstrak darinya dikirim pada Februari 1829, dan tidak ada satupun yang diterbitkan, dan bahkan manuskripnya tidak mungkin dikembalikan.

Galois, kata pengantar tidak diterbitkan, 1832

Di saluran youtube situs kami, untuk mengikuti semua pelajaran video baru.

Untuk memulainya, mari mengingat kembali rumus dasar derajat dan sifat-sifatnya.

Produk dari nomor sebuah terjadi pada dirinya sendiri n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a ... a = a n

1.a 0 = 1 (a 0)

3.a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5.a n b n = (ab) n

7.a n / a m = a n - m

Persamaan pangkat atau eksponensial- ini adalah persamaan di mana variabel dalam pangkat (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis, selalu berdiri di bawah, dan variabel x derajat atau indikator.

Berikut adalah beberapa contoh persamaan eksponensial.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2x = 2 3

Contoh seperti itu dapat diselesaikan bahkan dalam pikiran. Terlihat bahwa x = 3. Lagi pula, agar sisi kiri dan kanan sama, Anda harus meletakkan angka 3 alih-alih x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana solusi ini perlu diformalkan:

2x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghapus alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan apa yang tersisa, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang diinginkan.

Sekarang mari kita simpulkan keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan memiliki basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah basanya sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:

Mari kita mulai sederhana.

Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, yang berarti kita dapat membuang alas dan menyamakan derajatnya.

x + 2 = 4 Ini adalah persamaan paling sederhana.
x = 4 - 2
x = 2
Jawabannya: x = 2

Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda, yaitu 3 dan 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Untuk mulai dengan, kami mentransfer sembilan ke sisi kanan, kami mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Diketahui 9 = 3 2. Mari kita gunakan rumus derajat (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x + 8

Kami mendapatkan 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16

3 3x = 3 2x + 16 Sekarang kamu dapat melihat bahwa alas pada sisi kiri dan kanan adalah sama dan sama dengan ketiganya, jadi kita dapat membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x = 2x + 16 dapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x = 16
x = 16
Jawab: x = 16.

Lihat contoh berikut:

2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat pangkalan, pangkalan berbeda dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Ubah keempatnya dengan rumus (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x + 4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami telah membawa contoh ke alasan yang sama. Tapi kami terhalang oleh nomor lain 10 dan 24. Apa yang harus dilakukan dengan mereka? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita ulangi 2 2x, inilah jawabannya - 2 2x dapat kita keluarkan dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Bagilah seluruh persamaan dengan 6:

Mari kita bayangkan 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 basisnya sama, buang dan samakan pangkatnya.
2x = 2 kita mendapatkan persamaan yang paling sederhana. Kita bagi dengan 2 kita peroleh
x = 1
Jawab: x = 1.

Mari kita selesaikan persamaannya:

9 x - 12 * 3 x + 27 = 0

Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Basis kita sama dengan 3. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga yang pertama memiliki derajat dua kali (2x) daripada yang kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda dapat memecahkan metode penggantian... Ganti angka dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3x) 2 = t 2

Ganti semua pangkat dengan x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel x.

Kami mengambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Ditemukan satu akar. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x2 = 1.

Di situs Anda dapat mengajukan pertanyaan menarik di bagian HELP TO SOLVE, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Dilihat dari awal publikasi, yang kami abaikan di sini, teksnya ditulis oleh Yuri Ignatievich. Itu ditulis dengan baik, dan masalahnya adalah topikal, itulah satu-satunya cara untuk memanggil Rusia, seperti yang dilakukan Mukhin ...

Tidak peduli bagaimana orang berhubungan dengan pemerintah anti-populer, Rusia berada di atasnya dan tidak pantas dihina. Bahkan dari whistleblower berbakat dari agensi Amerika NASA.

*

Alamat untuk Kamerad Mukhin Yu.I.

Yuri Ignatievich yang terhormat! Saya tahu Anda sedang mengunjungi halaman ini. Oleh karena itu, saya berbicara langsung dengan Anda.

Kami semua menghargai pekerjaan tanpa pamrih Anda di bidang mengungkap kebohongan Barat, kebohongan Amerika, kebohongan ilmuwan semu, dan kebohongan kaum liberal. Dengan kesenangan dan manfaat bagi diri kita sendiri dan masyarakat, kami memikirkan topik serius yang Anda lemparkan kepada kami dari waktu ke waktu, baik itu meritokrasi atau metafisika, cinta akan sejarah Rusia atau pemulihan keadilan.

Namun, definisi Anda tentang tanah air kita bersama membingungkan dan sangat mengecewakan.

Namun, nilailah sendiri: bagaimana Anda menggambarkan seseorang yang mulai menyinggung ibunya yang sakit dan berhenti bekerja untuk sementara karena ini?

Tapi Rusia, tidak peduli bagaimana namanya, dan tidak peduli seberapa baik atau menjijikkan pemerintahnya, Rusia adalah Tanah Air kita. Tanah air. Baginya, kakek kami menumpahkan darah dan mempertaruhkan nyawa mereka.

Oleh karena itu, mensejajarkannya dengan kekuatan berarti menurunkan keagungan spiritual ke level material, bahkan rendah. Itu. Anda membandingkan kategori yang sama sekali berbeda. Suatu hal yang tidak dapat diterima oleh orang yang waras.

Aku bertanya padamu, kawan tersayang. Mukhin, pikirkan ini dengan serius.

**

... Dan dengan persamaan (saya tidak tahu ini) situasinya adalah sebagai berikut. Cara mencari akar persamaan kuadrat sudah ditebak kembali di Mesir kuno.

Cara menemukan akar persamaan kubik dan persamaan derajat keempat ditemukan pada abad keenam belas, tetapi mereka tidak dapat menemukan akar persamaan derajat kelima hingga 2016. Dan jauh dari orang biasa mencoba.

Pada abad keenam belas, pendiri aljabar simbolis, François Viet, mencoba menemukan akar persamaan derajat kelima; pada abad kesembilan belas, pendiri aljabar tinggi modern, matematikawan Prancis Evariste Galois, mencoba menemukan akar dari persamaan derajat kelima; setelah dia, ahli matematika Norwegia Niels Henrik Abel mencoba menyerah dan membuktikan ketidakmungkinan memecahkan persamaan derajat kelima dalam bentuk umum.

Kami membaca di Wikipedia tentang manfaat Abel: “Abel menyelesaikan studi brilian tentang masalah kuno:membuktikan ketidakmungkinan untuk memecahkan dalam bentuk umum (dalam radikal) persamaan derajat ke-5 ...

Dalam aljabar, Abel menemukan kondisi yang diperlukan untuk akar persamaan yang akan dinyatakan "dalam radikal" dalam hal koefisien persamaan ini. Kondisi yang cukup segera ditemukan oleh Galois, yang prestasinya didasarkan pada karya-karya Habel.

Abel memberikan contoh spesifik dari persamaan tingkat 5, yang akarnya tidak dapat dinyatakan dalam radikal, dan dengan demikian sebagian besar menutup masalah kuno. "

Seperti yang Anda lihat, jika mereka mencoba membuktikan teorema Poincaré sepanjang waktu dan Perelman ternyata lebih beruntung daripada matematikawan lainnya, maka setelah Abel para matematikawan tidak mengambil persamaan derajat kelima.

Dan pada tahun 2014 matematikawan dari Tomsk Sergey Zaikov, tentang siapa yang dapat menilai dari foto bahwa dia sudah bertahun-tahun, dan menurut data dari artikel tentang dia bahwa dia adalah lulusan Fakultas Matematika Terapan dan Sibernetika Universitas Negeri Tomsk, dalam perjalanan kerjanya ia menerima persamaan derajat kelima. Jalan buntu? Ya, jalan buntu! Tapi Sergei Zaikov berusaha memecahkannya.

Dan pada tahun 2016, ia menemukan cara untuk menyelesaikan persamaan derajat kelima dalam bentuk umum! Dia melakukan apa yang tidak mungkin dilakukan oleh ahli matematika Galois dan Abel.

Saya mencoba mencari informasi tentang Sergei Zaikov di Wikipedia, tapi persetan! Tentang ahli matematika Sergei Zaikov dan tentang penemuannya untuk solusi persamaan tingkat kelima tidak ada informasi!

Fakta bahwa untuk matematikawan ada analog dari Hadiah Nobel juga menambah kepedasan pada masalah ini - Hadiah Abel(Nobel melarang pemberian hadiah kepada matematikawan dan sekarang diberikan untuk kotoran matematika, menyebut mereka "fisika").

Hadiah matematika ini untuk menghormati Abel yang membuktikan ketidakmungkinan apa yang dilakukan Zaikov... Namun, pencalonan diri untuk penghargaan ini tidak diperbolehkan. Dan Zaikov adalah ahli matematika tunggal dan tidak ada organisasi yang dapat mengusulkan dia sebagai kandidat untuk hadiah ini.

Benar, kami memiliki Akademi Ilmu Pengetahuan, tetapi para akademisi tidak duduk di sana untuk pengembangan matematika, tetapi "untuk melihat hasil curian." Siapa yang butuh Zaikov ini di sana?

Nah, untuk kantor berita Zaikov bukan Perelman untuk Anda! Oleh karena itu, penemuan Zaykov untuk media bukanlah sensasi.

Poroshenko itu membuat kesalahan dengan pintu - ya! Ini adalah sensasi nyata!

Ahli matematika Tomsk memecahkan masalah yang tidak dapat diselesaikan selama dua ratus tahun

Dengan munculnya aljabar, tugas utamanya dianggap sebagai solusi persamaan aljabar. Penyelesaian persamaan derajat kedua sudah dikenal sejak Babilonia dan Mesir Kuno. Kami melewati persamaan seperti itu di sekolah. Ingat persamaan x2 + ax + b = 0, dan diskriminannya?

Sergei Zaikov dengan sebuah buku

Solusi untuk persamaan aljabar derajat ketiga dan keempat ditemukan pada abad keenam belas. Tapi itu tidak mungkin untuk memecahkan persamaan derajat kelima. Alasannya ditemukan oleh Lagrange. Dia menunjukkan bahwa solusi persamaan derajat ketiga dan keempat menjadi mungkin karena dapat direduksi menjadi persamaan yang telah diselesaikan. Persamaan derajat ketiga dapat direduksi menjadi persamaan derajat kedua, dan persamaan derajat keempat dapat direduksi menjadi persamaan derajat ketiga. Tetapi persamaan derajat kelima direduksi menjadi persamaan keenam, yaitu yang lebih kompleks, oleh karena itu metode penyelesaian tradisional tidak dapat diterapkan.

Pertanyaan untuk memecahkan persamaan tingkat kelima dimulai hanya dua ratus tahun yang lalu, ketika Abel membuktikan bahwa tidak semua persamaan tingkat kelima dapat diselesaikan dalam radikal, yaitu, dalam kuadrat, kubik, dan akar lainnya, yang kita ketahui dari sekolah. Dan Galois segera, yaitu, dua ratus tahun yang lalu, menemukan kriteria untuk menentukan persamaan derajat kelima mana yang dapat diselesaikan secara radikal dan mana yang tidak. Ini terdiri dari fakta bahwa grup Galois, yang dapat dipecahkan dalam radikal dari persamaan derajat kelima, harus siklik atau metasiklik. Tetapi Galois tidak menemukan cara untuk menyelesaikan secara radikal persamaan-persamaan tingkat kelima yang dapat diselesaikan dalam radikal. Teori Galois sangat terkenal, banyak buku telah ditulis tentangnya.

Sampai sekarang, hanya solusi khusus yang telah ditemukan untuk persamaan derajat kelima yang dapat dipecahkan dalam radikal. Dan hanya tahun ini, ahli matematika Tomsk Sergei Zaikov memecahkan masalah yang tidak dapat diselesaikan selama dua ratus tahun. Dia menerbitkan sebuah buku "Bagaimana persamaan aljabar tingkat kelima diselesaikan dalam radikal", di mana dia menunjukkan metode untuk memecahkan persamaan tingkat kelima yang dapat diselesaikan dalam radikal. Zaikov adalah lulusan Fakultas Matematika Terapan dan Sibernetika, Universitas Negeri Tomsk. Kami berhasil mewawancarainya.

- Sergei, mengapa Anda mulai memecahkan masalah ini?

- Saya perlu menyelesaikan persamaan tingkat lima untuk menyelesaikan masalah dari cabang matematika lain. Saya mulai mencari cara untuk menemukannya dan menemukan bahwa tidak semuanya diselesaikan secara radikal. Kemudian saya mencoba menemukan dalam literatur ilmiah cara untuk memecahkan persamaan-persamaan yang dapat dipecahkan dalam radikal, tetapi saya hanya menemukan kriteria yang dengannya seseorang dapat menentukan mana yang dapat dipecahkan dan mana yang tidak. Saya bukan ahli aljabar, tapi tentunya sebagai lulusan FPMK saya juga bisa menerapkan metode aljabar. Oleh karena itu, sejak tahun 2014, saya mulai mencari solusi dengan sungguh-sungguh dan menemukannya sendiri.

Metode ini ditemukan oleh saya dua tahun lalu, saya menyiapkan sebuah buku di mana tidak hanya dijelaskan, tetapi juga metode untuk memecahkan beberapa persamaan derajat lebih besar dari kelima. Tapi saya tidak punya uang untuk mempublikasikannya. Tahun ini saya memutuskan bahwa akan lebih mudah untuk menerbitkan hanya sebagian dari karya ini, dan hanya mengambil setengahnya, yang dikhususkan untuk cara memecahkan persamaan derajat lima dalam radikal.

Saya mulai menerbitkan sesuatu seperti panduan untuk memecahkan masalah ini, yang dapat dimengerti oleh matematikawan yang perlu menyelesaikan persamaan tertentu. Oleh karena itu, saya menyederhanakannya, menghapus banyak formula panjang dan bagian penting dari teori, memotongnya lebih dari setengah, hanya menyisakan yang diperlukan. Oleh karena itu, saya berakhir dengan sesuatu seperti buku "untuk boneka", yang menurutnya matematikawan yang tidak terbiasa dengan teori Galois dapat memecahkan persamaan yang mereka butuhkan.

- Untuk ini, terima kasih banyak kepada Vladislav Beresnev, yang telah kami kenal selama bertahun-tahun. Dia mensponsori penerbitan buku tersebut.

- Apakah mungkin bagi Anda untuk menerima hadiah dalam matematika untuk memecahkan masalah ini? Misalnya, Anda menyebut Habel. Tetapi apakah ada Hadiah Abel dalam matematika, yang dianggap sebagai analog dari Hadiah Nobel?

- Kemungkinan ini tidak dapat sepenuhnya dikesampingkan. Tetapi Anda juga tidak boleh berharap untuk itu.

Misalnya, aplikasi untuk kandidat Hadiah Abel 2019 harus diajukan paling lambat 15 September. Selain itu, pencalonan diri tidak diperbolehkan. Dan saya seorang ahli matematika tunggal. Tidak ada organisasi atau matematikawan terkenal yang akan menominasikan saya. Oleh karena itu, tidak akan dipertimbangkan terlepas dari apakah karya saya layak mendapatkan penghargaan ini, dan apakah dalam semangat penghargaan ini untuk mempersembahkannya kepada mereka yang melanjutkan pekerjaan Abel. Tapi kalaupun dipresentasikan, semuanya juga tergantung dari level kerja kandidat lain.

Buku ini ditujukan bagi mereka yang tidak akrab dengan teori Galois. Dasar-dasar teori Galois diberikan hanya di bagian yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan, metode penyelesaian dijelaskan secara rinci, dan teknik yang menyederhanakan solusi ditunjukkan. Sebagian besar buku ini dikhususkan untuk contoh pemecahan persamaan tertentu. Pengulas buku ini adalah Doctor of Technical Sciences Gennady Petrovich Agibalov dan Doctor of Phys. tikar. Sains, Profesor Petr Andreevich Krylov.

SIAP ANASTASIA SKIRNEVSKAYA

Secara umum, persamaan dengan derajat lebih tinggi dari 4 tidak dapat diselesaikan secara radikal. Tetapi kadang-kadang kita masih dapat menemukan akar polinomial di sebelah kiri dalam persamaan derajat tertinggi, jika kita menyatakannya sebagai produk polinomial dalam derajat paling banyak 4. Solusi untuk persamaan tersebut didasarkan pada pemfaktoran polinomial ke dalam faktor, jadi kami menyarankan Anda untuk mengulangi topik ini sebelum mempelajari artikel ini.

Paling sering, kita harus berurusan dengan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat. Dalam kasus ini, kita dapat mencoba mencari akar rasional, lalu memfaktorkan polinomialnya untuk kemudian mengubahnya menjadi persamaan tingkat rendah yang akan mudah diselesaikan. Dalam kerangka materi ini, kami hanya akan mempertimbangkan contoh-contoh seperti itu.

Persamaan derajat tertinggi dengan koefisien bilangan bulat

Semua persamaan berbentuk a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = 0, kita dapat mereduksinya menjadi persamaan dengan derajat yang sama dengan mengalikan kedua ruas dengan a n n - 1 dan mengubah variabel bentuk y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = 0 ann xn + an - 1 ann - 1 xn - 1 +… + a 1 (an) n - 1 x + a 0 (an) n - 1 = 0 y = anx yn + bn - 1 yn - 1 +… + b 1 y + b 0 = 0

Koefisien yang dihasilkan juga akan utuh. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan tereduksi derajat ke-n dengan koefisien bilangan bulat, yang berbentuk x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 = 0.

Kami menghitung seluruh akar persamaan. Jika persamaan memiliki akar bilangan bulat, Anda perlu mencarinya di antara pembagi dari suku bebas a 0. Mari kita tuliskan dan substitusikan ke persamaan asli secara bergantian, periksa hasilnya. Setelah kita memperoleh identitas dan menemukan salah satu akar persamaan, kita dapat menuliskannya dalam bentuk x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Di sini x 1 adalah akar persamaan, dan P n - 1 (x) adalah hasil bagi dari pembagian x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 dengan x - x 1.

Substitusikan sisa pembagi yang ditulis dalam P n - 1 (x) = 0, dimulai dengan x 1, karena akar-akarnya dapat diulang. Setelah mendapatkan identitas, akar x 2 dianggap ditemukan, dan persamaan dapat ditulis sebagai (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) = 0. Disini P n - 2 (x) akan menjadi hasil bagi membagi P n - 1 (x) dengan x - x 2.

Kami terus mengulangi pembagi. Temukan semua akar utuh dan nyatakan jumlahnya sebagai m. Setelah itu, persamaan semula dapat direpresentasikan sebagai x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) = 0. Di sini P n - m (x) adalah polinomial berderajat n - m. Lebih mudah menggunakan skema Horner untuk menghitung.

Jika persamaan asli kita memiliki koefisien bilangan bulat, kita tidak bisa mendapatkan akar pecahan.

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan P n - m (x) = 0, yang akar-akarnya dapat ditemukan dengan cara apa pun yang mudah. Mereka bisa irasional atau kompleks.

Mari kita tunjukkan dengan contoh spesifik bagaimana skema solusi seperti itu diterapkan.

Contoh 1

Kondisi: tentukan penyelesaian persamaan x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Larutan

Mari kita mulai dengan menemukan seluruh akar.

Kami memiliki istilah bebas sama dengan minus tiga. Ini memiliki pembagi 1, - 1, 3, dan - 3. Mari kita substitusikan ke persamaan awal dan lihat mana yang akan menghasilkan identitas.

Dengan x sama dengan satu, kita mendapatkan 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, yang berarti satu akan menjadi akar dari persamaan ini.

Sekarang kita melakukan pembagian polinomial x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 dengan (x - 1) dalam sebuah kolom:

Jadi, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Kami telah memperoleh identitas, yang berarti bahwa kami telah menemukan akar lain dari persamaan, sama dengan - 1.

Bagilah polinomial x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dengan (x + 1) dalam sebuah kolom:

Kami mengerti

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Substitusikan pembagi berikutnya ke dalam persamaan x 2 + x + 3 = 0, dimulai dengan - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Persamaan yang dihasilkan akan salah, yang berarti persamaan tersebut tidak lagi memiliki akar integral.

Akar yang tersisa akan menjadi akar dari ekspresi x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Dari sini dapat disimpulkan bahwa trinomial kuadrat ini tidak memiliki akar real, tetapi memiliki konjugat kompleks: x = - 1 2 ± i 11 2.

Mari kita klarifikasi bahwa alih-alih pembagian panjang, kita dapat menggunakan skema Horner. Ini dilakukan seperti ini: setelah kami menentukan akar pertama persamaan, kami mengisi tabel.

Dalam tabel koefisien, kita dapat langsung melihat koefisien hasil bagi pembagian polinomial, yang berarti bahwa x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Setelah menemukan akar berikutnya yang sama dengan - 1, kami mendapatkan yang berikut:

Menjawab: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Contoh 2

Kondisi: Selesaikan persamaan x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Larutan

Suku bebas memiliki pembagi 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Kami memeriksanya secara berurutan:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Oleh karena itu, x = 2 akan menjadi akar persamaan. Bagilah x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 dengan x - 2 menggunakan skema Horner:

Hasilnya, kita mendapatkan x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Oleh karena itu, 2 lagi akan menjadi root. Bagi x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 dengan x - 2:

Hasilnya, kita mendapatkan (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Tidak masuk akal untuk memeriksa pembagi yang tersisa, karena persamaan x 2 + 3 x + 3 = 0 lebih cepat dan lebih nyaman untuk diselesaikan menggunakan diskriminan.

Selesaikan persamaan kuadrat:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Kami mendapatkan pasangan akar konjugasi kompleks: x = - 3 2 ± i 3 2.

Menjawab: x = - 3 2 ± i 3 2.

Contoh 3

Kondisi: tentukan akar real dari persamaan x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Larutan

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Kami melakukan perkalian 2 3 dari kedua sisi persamaan:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Ganti variabel y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan derajat ke-4 standar, yang dapat diselesaikan sesuai dengan skema standar. Mari kita periksa pembagi, bagi dan dapatkan bahwa ia memiliki 2 akar real y = - 2, y = 3 dan dua akar kompleks. Kami tidak akan menyajikan solusi lengkapnya di sini. Karena penggantian, akar real dari persamaan ini adalah x = y 2 = - 2 2 = - 1 dan x = y 2 = 3 2.

Menjawab: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter