Turunan parsial dari orde 1 fungsi beberapa variabel. Contoh menghitung turunan orde tinggi dari fungsi eksplisit. Batas dan kontinuitas fungsi dua variabel

Pertimbangkan fungsi dari dua variabel:

Karena variabel $ x $ dan $ y $ independen, untuk fungsi seperti itu, Anda dapat memperkenalkan konsep turunan parsial:

Turunan parsial dari fungsi $ f $ pada titik $ M = \ kiri (((x) _ (0)); ((y) _ (0)) \ kanan) $ terhadap variabel $ x $ adalah batasnya

\ [(((f) ") _ (x)) = \ underset (\ Delta x \ ke 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ kiri (((x) _ (0) ) + \ Delta x; ((y) _ (0)) \ kanan)) (\ Delta x) \]

Demikian pula, Anda dapat mendefinisikan turunan parsial sehubungan dengan variabel $ y $:

\ [(((f) ") _ (y)) = \ underset (\ Delta y \ ke 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ kiri (((x) _ (0) ); ((y) _ (0)) + \ Delta y \ kanan)) (\ Delta y) \]

Dengan kata lain, untuk menemukan turunan parsial dari suatu fungsi dari beberapa variabel, Anda perlu memperbaiki semua variabel lain, kecuali variabel yang diinginkan, dan kemudian menemukan turunan biasa terhadap variabel yang diinginkan ini.

Ini menyiratkan teknik utama untuk menghitung turunan seperti itu: asumsikan saja bahwa semua variabel kecuali yang diberikan adalah konstan, dan kemudian bedakan fungsinya seperti Anda akan membedakan yang "biasa" - dengan satu variabel. Sebagai contoh:

$ \ mulai (sejajarkan) & ((\ kiri (((x) ^ (2)) + 10xy \ kanan)) _ (x)) ^ (\ prime) = ((\ kiri (((x) ^ (2 )) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) + 10y \ cdot ((\ left (x \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = 2x + 10y, \\ & (( \ kiri (((x) ^ (2)) + 10xy \ kanan)) _ (y)) ^ (\ prima) = ((\ kiri (((x) ^ (2)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) + 10x \ cdot ((\ kiri (y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = 0 + 10x = 10x. \\\ akhir (sejajarkan) $

Jelas, turunan parsial sehubungan dengan variabel yang berbeda memberikan jawaban yang berbeda - ini normal. Jauh lebih penting untuk memahami mengapa, katakanlah, dalam kasus pertama, kami dengan tenang menghapus $ 10y $ dari bawah tanda turunan, dan pada yang kedua, kami sepenuhnya menghilangkan istilah pertama. Semua ini terjadi karena fakta bahwa semua huruf, kecuali variabel di mana diferensiasi terjadi, dianggap sebagai konstanta: mereka dapat dikeluarkan, "dibakar", dll.

Apa itu "turunan parsial"?

Hari ini kita akan berbicara tentang fungsi beberapa variabel dan turunan parsialnya. Pertama, apa itu fungsi multi-variabel? Sampai sekarang, kita dulu menganggap fungsi sebagai $ y \ kiri (x \ kanan) $ atau $ t \ kiri (x \ kanan) $, atau variabel apa pun dan satu fungsi darinya. Sekarang kita akan memiliki satu fungsi, dan beberapa variabel. Saat $ y $ dan $ x $ berubah, nilai fungsi akan berubah. Misalnya, jika $ x $ digandakan, nilai fungsi akan berubah, sedangkan jika $ x $ berubah tetapi $ y $ tidak berubah, nilai fungsi akan berubah dengan cara yang sama.

Tentu saja, fungsi dari beberapa variabel, seperti fungsi dari satu variabel, dapat dibedakan. Namun, karena ada beberapa variabel, dimungkinkan untuk membedakan dengan variabel yang berbeda. Dalam hal ini, muncul aturan khusus yang tidak ada dalam diferensiasi satu variabel.

Pertama-tama, ketika kita menghitung turunan suatu fungsi dari variabel apa pun, kita harus menunjukkan untuk variabel mana kita menghitung turunannya - ini disebut turunan parsial. Misalnya, kita memiliki fungsi dari dua variabel, dan kita dapat menghitungnya dengan $ x $ dan $ y $ - dua turunan parsial dari masing-masing variabel.

Kedua, segera setelah kita memperbaiki salah satu variabel dan mulai menghitung turunan parsial terhadapnya, maka semua variabel lain yang termasuk dalam fungsi ini dianggap konstanta. Misalnya, dalam $ z \ kiri (xy \ kanan) $, jika kita menghitung turunan parsial terhadap $ x $, maka di mana pun kita bertemu $ y $, kita memperlakukannya sebagai konstanta dan memperlakukannya persis seperti konstanta. Secara khusus, ketika menghitung turunan dari suatu produk, kita dapat menempatkan $ y $ di luar tanda kurung (kita memiliki konstanta), dan ketika menghitung turunan dari suatu jumlah, jika di suatu tempat kita mendapatkan turunan dari ekspresi yang mengandung $ y $ dan tidak mengandung $ x $, maka turunan dari ekspresi ini akan sama dengan "nol" sebagai turunan dari konstanta.

Sepintas, sepertinya saya sedang membicarakan sesuatu yang sulit, dan banyak siswa yang bingung pada awalnya. Namun, tidak ada yang supernatural dalam turunan parsial, dan sekarang kita akan diyakinkan tentang ini pada contoh masalah khusus.

Masalah dengan Radikal dan Polinomial

Soal nomor 1

Agar tidak membuang waktu dengan sia-sia, mari kita mulai dengan contoh serius dari awal.

Untuk memulainya, izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus berikut:

Ini adalah nilai tabular standar yang kita ketahui dari kursus standar.

Dalam hal ini, turunan $ z $ dihitung sebagai berikut:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (\ kuadrat (\ frac (y) (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) \]

Mari kita sekali lagi, karena root bukan $ x $, tetapi beberapa ekspresi lain, dalam hal ini $ \ frac (y) (x) $, maka pertama-tama kita akan menggunakan nilai tabel standar, dan kemudian, karena root tidak $ x $, dan ekspresi lain, kita perlu mengalikan turunan kita dengan satu lagi ekspresi ini untuk variabel yang sama. Mari kita mulai dengan menghitung berikut ini:

\ [((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (((((y) ")) _ (x)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (x))) (((x) ^ (2))) = \ frac (0 \ cdot xy \ cdot 1) (((x) ^ (2)) ) = - \ frac (y) (((x) ^ (2))) \]

Kami kembali ke ekspresi kami dan menulis:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (\ kuadrat (\ frac (y) (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ kiri (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ kanan) \]

Pada dasarnya, itu saja. Namun, meninggalkannya dalam bentuk ini adalah salah: konstruksi seperti itu tidak nyaman digunakan untuk perhitungan lebih lanjut, jadi mari kita ubah sedikit:

\ [\ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ kiri (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ kanan) = \ frac (1) (2) \ cdot \ kuadrat (\ frac (x) (y)) \ cdot \ frac (y) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= - \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (((y) ^ (2))) (((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x \ cdot ((y) ^ (2))) (y \ cdot ((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (y) (((x) ^ (3)))) \]

Jawabannya telah ditemukan. Sekarang mari kita atasi $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (\ kuadrat (\ frac (y) (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) \]

Mari kita tulis secara terpisah:

\ [((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac (((((y) ")) _ (y)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (y))) (((x) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot xy \ cdot 0) (((x) ^ (2)) ) = \ frac (1) (x) \]

Sekarang kita menulis:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (\ kuadrat (\ frac (y) (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ frac (1) (x) = \]

\ [= \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (1) (((x) ^ (2)))) = \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x) (y \ cdot ((x) ^ (2)))) = \ frac (1) (2 \ sqrt (xy)) \]

Selesai.

Soal nomor 2

Contoh ini lebih sederhana dan lebih kompleks daripada yang sebelumnya. Ini lebih sulit karena ada lebih banyak tindakan di sini, tetapi lebih mudah karena tidak ada root di sini dan, sebagai tambahan, fungsinya simetris sehubungan dengan $ x $ dan $ y $, yaitu. jika kita menukar tempat $ x $ dan $ y $, rumusnya tidak berubah. Pernyataan ini akan lebih menyederhanakan perhitungan turunan parsial, yaitu. cukup untuk menghitung salah satunya, dan yang kedua hanya menukar $ x $ dan $ y $.

Mari kita mulai bisnis:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (\ frac (xy) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1) \ kanan )) ^ (\ prima)) _ (x) = \ frac (((\ kiri (xy \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) \ kiri (((x) ^ (2)) + ( (y) ^ (2)) + 1 \ kanan) -xy ((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (\ prime) ) _ (x)) (((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2))) \]

Mari berhitung:

\ [((\ kiri (xy \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = y \ cdot ((\ kiri (x \ kanan)) ^ (\ prime)) = y \ cdot 1 = y \ ]

Namun, banyak siswa yang tidak memahami catatan seperti itu, jadi kami akan menulisnya seperti ini:

\ [((\ kiri (xy \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = ((\ kiri (x \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) \ cdot y + x \ cdot ((\ kiri (y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = 1 \ cdot y + x \ cdot 0 = y \]

Jadi, kita sekali lagi yakin akan universalitas algoritma diferensial parsial: tidak peduli bagaimana kita menghitungnya, jika semua aturan diterapkan dengan benar, jawabannya akan sama.

Sekarang mari kita berurusan dengan satu turunan parsial lagi dari rumus besar kita:

\ [((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = ((\ kiri ((( x) ^ (2)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) + ((\ kiri (((y) ^ (2)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) + (((1) ") _ (x)) = 2x + 0 + 0 \]

Substitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus kita dan dapatkan:

\ [\ frac (((\ kiri (xy \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) \ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan) -xy ((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x)) (((\ kiri) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ cdot \ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan) -xy \ cdot 2x) (((\ kiri ((( x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1-2 ((x) ^ (2)) \ kanan)) (((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2))) = \ frac (y \ kiri (((y) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 1 \ kanan)) (((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2 ))) \]

$ X $ dihitung. Dan untuk menghitung $ y $ dari ekspresi yang sama, jangan lakukan urutan tindakan yang sama, tetapi gunakan simetri ekspresi asli kami - kami hanya akan mengganti semua $ y $ dalam ekspresi asli kami dengan $ x $ dan sebaliknya :

\ [(((z) ") _ (y)) = \ frac (x \ kiri (((x) ^ (2)) - ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ((( \ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (2))) \]

Karena simetri, kami menghitung ekspresi ini lebih cepat.

Nuansa solusi

Untuk turunan parsial, semua rumus standar yang kita gunakan untuk yang biasa berfungsi, yaitu turunan dari hasil bagi. Namun, dalam kasus ini, ada beberapa fitur khusus: jika kita menghitung turunan parsial $ x $, maka ketika kita mendapatkannya dari $ x $, maka kita menganggapnya sebagai konstanta, dan oleh karena itu turunannya akan sama dengan "nol ".

Seperti halnya turunan biasa, hasil bagi (sama) dapat dihitung dengan beberapa cara berbeda. Misalnya, konstruksi yang sama yang baru saja kita hitung dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\ [((\ kiri (\ frac (y) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = y \ cdot ((\ kiri (\ frac (1) (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = - y \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

\ [((\ kiri (xy \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = y \ cdot (((x) ") _ (x)) = y \ cdot 1 = y \]

Namun, di sisi lain, Anda dapat menggunakan rumus dari turunan jumlah. Seperti yang kita ketahui, itu sama dengan jumlah turunannya. Sebagai contoh, mari kita tulis berikut ini:

\ [((\ kiri (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = 2x + 0 + 0 = 2x \]

Sekarang, mengetahui semua ini, mari kita coba bekerja dengan ekspresi yang lebih serius, karena turunan parsial nyata tidak terbatas hanya pada polinomial dan akar: ada trigonometri, logaritma, dan fungsi eksponensial. Sekarang kita akan melakukan ini.

Masalah dengan fungsi trigonometri dan logaritma

Soal nomor 1

Mari kita tulis rumus standar berikut:

\ [((\ kiri (\ sqrt (x) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \]

\ [((\ kiri (\ cos x \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ sin x \]

Berbekal pengetahuan ini, mari kita coba memecahkan:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x ) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) _ (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ left (\ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

Mari kita tulis satu variabel secara terpisah:

\ [((\ kiri (\ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ kiri ( \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = - \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Kembali ke desain kami:

\ [= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ kiri (- \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \ kanan) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) - \ frac (\ sqrt (x)) ( y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Itu saja yang kami temukan dengan $ x $, sekarang mari kita turun ke perhitungan untuk $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y ) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) _ (y) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ left (\ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \]

Sekali lagi, mari kita hitung satu ekspresi:

\ [((\ kiri (\ cos \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ kiri ( \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot x \ cdot \ kiri (- \ frac (1) (( (y) ^ (2))) \ kanan) \]

Kami kembali ke ekspresi asli dan melanjutkan solusinya:

\ [= 0 \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ kuadrat (x) \ cdot \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ sin \ frac (x) (y) = \ frac (x \ kuadrat (x)) (((y) ^ (2))) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Selesai.

Soal nomor 2

Mari kita tuliskan rumus yang kita butuhkan:

\ [((\ kiri (\ ln x \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) (x) \]

Sekarang mari kita hitung dengan $ x $:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (\ ln \ kiri (x + \ ln y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac ( 1) (x + \ ln y).((\ Kiri (x + \ ln y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

\ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ cdot \ kiri (1 + 0 \ kanan) = \ frac (1) (x + \ ln y) \]

Dengan $ x $ ditemukan. Kami menghitung dengan $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (\ ln \ kiri (x + \ ln y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac ( 1) (x + \ ln y).((\ Kiri (x + \ ln y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \]

\ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ kiri (0+ \ frac (1) (y) \ kanan) = \ frac (1) (y \ kiri (x + \ ln y \ kanan) ) \ ]

Masalahnya sudah diatasi.

Nuansa solusi

Jadi, tidak peduli dari fungsi apa kita mengambil turunan parsial, aturannya tetap sama, terlepas dari apakah kita bekerja dengan trigonometri, dengan akar atau dengan logaritma.

Aturan klasik untuk bekerja dengan turunan standar tetap tidak berubah, yaitu turunan dari jumlah dan selisih, hasil bagi dan fungsi kompleks.

Rumus terakhir paling sering ditemui saat menyelesaikan masalah dengan turunan parsial. Kami bertemu dengan mereka hampir di mana-mana. Belum ada satu masalah pun, sehingga kami tidak menemukannya di sana. Tetapi tidak peduli rumus apa yang kami gunakan, satu persyaratan lagi masih ditambahkan kepada kami, yaitu, kekhasan bekerja dengan turunan parsial. Segera setelah kami memperbaiki satu variabel, yang lainnya adalah konstanta. Secara khusus, jika kita mempertimbangkan turunan parsial dari ekspresi $ \ cos \ frac (x) (y) $ terhadap $ y $, maka $ y $ yang merupakan variabel, dan $ x $ tetap konstan di mana-mana. Hal yang sama bekerja sebaliknya. Itu dapat diambil di luar tanda turunan, dan turunan dari konstanta itu sendiri akan sama dengan "nol".

Semua ini mengarah pada fakta bahwa turunan parsial dari ekspresi yang sama, tetapi untuk variabel yang berbeda, dapat terlihat sangat berbeda. Sebagai contoh, mari kita lihat ekspresi berikut:

\ [((\ kiri (x + \ ln y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = 1 + 0 = 1 \]

\ [((\ kiri (x + \ ln y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = 0 + \ frac (1) (y) = \ frac (1) (y) \]

Masalah dengan fungsi eksponensial dan logaritma

Soal nomor 1

Pertama, mari kita tulis rumus ini:

\ [((\ kiri (((e) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = ((e) ^ (x)) \]

Mengetahui fakta ini, serta turunan dari fungsi kompleks, mari kita coba menghitung. Sekarang saya akan memutuskan dalam dua cara yang berbeda. Yang pertama dan paling jelas adalah turunan dari karya:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan) ) ^ (\ prima)) _ (x) = ((\ kiri (((e) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prime) ) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ kiri (\ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

Mari selesaikan ekspresi berikut secara terpisah:

\ [((\ kiri (\ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (((((x) ")) _ (x)) \ cdot yx ((((y) ")) _ (x))) (((y) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot yx \ cdot 0) (((y) ^ (2))) = \ frac (y) (((y) ^ (2))) = \ frac (1) (y) \]

Kembali ke desain awal kami dan melanjutkan dengan solusi:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kiri (1 + \ frac (1) (y) \ kanan) \]

Semuanya, $ x $ dihitung.

Namun, seperti yang saya janjikan, sekarang kita akan mencoba menghitung turunan parsial yang sama dengan cara yang berbeda. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\ [((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \]

Dalam hal ini, kami menulisnya seperti ini:

\ [((\ kiri (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = ( (\ kiri (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y ))) \ cdot ((\ kiri (x + \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y)) ) \ cdot \ kiri (1+ \ frac (1) (y) \ kanan) \]

Hasilnya, kami mendapat jawaban yang persis sama, tetapi jumlah perhitungannya ternyata lebih sedikit. Untuk melakukan ini, cukup memperhatikan bahwa indikator dapat ditambahkan selama produksi.

Sekarang mari kita hitung dengan $ y $:

\ [((((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan) ) ^ (\ prima)) _ (y) = ((\ kiri (((e) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prime) ) _ (y) = \]

\ [= 0 \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ kiri (\ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \]

Mari kita selesaikan satu ekspresi secara terpisah:

\ [((\ kiri (\ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac (((((x) ")) _ (y)) \ cdot yx \ cdot ((((y) ")) _ (y))) (((y) ^ (2))) = \ frac (0-x \ cdot 1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \]

Mari kita lanjutkan dengan desain asli kita:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ kiri (- \ frac (x) (((y) ^ (2) )) \ kanan) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ cdot ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y) )) \]

Tentu saja, turunan yang sama dapat dihitung dengan cara kedua, jawabannya akan sama.

Soal nomor 2

Mari kita hitung dengan $ x $:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (x \ kanan)) _ (x)) \ cdot \ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan ) + x \ cdot ((\ kiri (\ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

Mari kita hitung satu ekspresi secara terpisah:

\ [((\ kiri (\ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (2x) ((( x) ^ (2)) + y) \]

Mari kita lanjutkan menyelesaikan konstruksi aslinya: $$

Inilah jawabannya.

Tetap dengan analogi untuk menemukan dengan $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (x \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y). \ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) + x \ cdot ((\ kiri (\ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \]

Kami menghitung satu ekspresi secara terpisah seperti biasa:

\ [((\ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = ((\ kiri (((x) ^ (2)) \ kanan) ) ^ (\ prima)) _ (y) + (((y) ") _ (y)) = 0 + 1 = 1 \]

Kami terus memecahkan struktur dasar:

Semuanya dihitung. Seperti yang Anda lihat, tergantung pada variabel mana yang diambil untuk diferensiasi, jawabannya sangat berbeda.

Nuansa solusi

Berikut adalah contoh utama bagaimana turunan dari fungsi yang sama dapat dihitung dengan dua cara yang berbeda. Lihat disini:

\ [(((z) ") _ (x)) = \ kiri (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan) = ( (\ kiri (((e) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y)))) \ kiri (1+ \ frac (1) (y) \ kanan) \]

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (((e) ^ (x)). ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = ((\ kiri (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = ( ( e) ^ (x + \ frac (x) (y))).((\ kiri (x + \ frac (x) (y) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y)))) \ kiri (1+ \ frac (1) (y) \ kanan) \ ]

Saat memilih jalur yang berbeda, jumlah perhitungan mungkin berbeda, tetapi jawabannya, jika semuanya dilakukan dengan benar, akan menjadi sama. Ini berlaku untuk turunan klasik dan parsial. Pada saat yang sama, saya mengingatkan Anda sekali lagi: tergantung pada variabel mana turunan diambil, mis. diferensiasi, jawabannya bisa sangat berbeda. Lihatlah:

\ [((\ kiri (\ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 2x \]

\ [((\ kiri (\ ln \ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = \ frac (1) (((x ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ kiri (((x) ^ (2)) + y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 1 \]

Sebagai kesimpulan, untuk menggabungkan semua materi ini, mari kita coba menghitung dua contoh lagi.

Masalah dengan fungsi trigonometri dan fungsi dengan tiga variabel

Soal nomor 1

Mari kita tulis rumus-rumus ini:

\ [((\ kiri (((a) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prime)) = ((a) ^ (x)) \ cdot \ ln a \]

\ [((\ kiri (((e) ^ (x)) \ kanan)) ^ (\ prima)) = ((e) ^ (x)) \]

Sekarang mari kita selesaikan ekspresi kita:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ kiri (((3) ^ (x \ sin y)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = ((3 ) ^ (x. \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ kiri (x \ cdot \ sin y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = \]

Mari kita hitung secara terpisah konstruksi berikut:

\ [((\ kiri (x \ cdot \ sin y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = (((x) ") _ (x)) \ cdot \ sin y + x ((\ kiri (\ sin y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = 1 \ cdot \ sin y + x \ cdot 0 = \ sin y \]

Kami terus menyelesaikan ekspresi asli:

\ [= ((3) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot \ sin y \]

Ini adalah jawaban terakhir untuk variabel pribadi $ x $. Sekarang mari kita hitung dengan $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ kiri (((3) ^ (x \ sin y)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = ((3 ) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ kiri (x \ sin y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = \]

Mari kita selesaikan satu ekspresi secara terpisah:

\ [((\ kiri (x \ cdot \ sin y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = (((x) ") _ (y)) \ cdot \ sin y + x ((\ kiri (\ sin y \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) = 0 \ cdot \ sin y + x \ cdot \ cos y = x \ cdot \ cos y \]

Kami menyelesaikan desain kami sampai akhir:

\ [= ((3) ^ (x \ cdot \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot x \ cos y \]

Soal nomor 2

Sepintas, contoh ini mungkin tampak agak rumit, karena ada tiga variabel. Sebenarnya, ini adalah salah satu tugas termudah dalam tutorial video hari ini.

Temukan $ x $:

\ [(((t) ") _ (x)) = ((\ kiri (x ((e) ^ (y)) + y ((e) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima) ) _ (x) = ((\ kiri (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) + ((\ kiri (y \ cdot ((e)) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) = \]

\ [= ((\ kiri (x \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (y) )) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (x) = 1 \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot o = ((e) ^ (y)) \]

Sekarang mari kita berurusan dengan $ y $:

\ [(((t) ") _ (y)) = ((\ kiri (x \ cdot ((e) ^ (y)) + y \ cdot ((e) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = ((\ kiri (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) + ((\ kiri (y \ cdot ((e) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = \]

\ [= x \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (y)) \ kanan)) ^ (\ prime)) _ (y) + ((e) ^ (z)) \ cdot ((\ kiri (y \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (y) = x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((e) ^ (z)) \]

Kami menemukan jawabannya.

Sekarang tinggal menemukan $ z $:

\ [(((t) ") _ (z)) = ((\ kiri (x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((y) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima )) _ (z) = ((\ kiri (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (z) + ((\ kiri (y \ cdot ((e ) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (z) = 0 + y \ cdot ((\ kiri (((e) ^ (z)) \ kanan)) ^ (\ prima)) _ (z) = y \ cdot ((e) ^ (z)) \]

Kami telah menghitung turunan ketiga, yang melengkapi solusi dari masalah kedua.

Nuansa solusi

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam dua contoh ini. Satu-satunya hal yang kami yakini adalah bahwa turunan dari fungsi kompleks sering digunakan dan bergantung pada turunan parsial mana yang kami hitung, kami mendapatkan jawaban yang berbeda.

Dalam tugas terakhir, kami diminta untuk menangani fungsi tiga variabel sekaligus. Tidak ada yang salah dengan itu, tetapi pada akhirnya kami memastikan bahwa mereka semua sangat berbeda satu sama lain.

Poin-poin penting

Kesimpulan akhir dari video tutorial hari ini adalah sebagai berikut:

1. Turunan parsial dihitung dengan cara yang sama seperti turunan biasa, sedangkan untuk menghitung turunan parsial terhadap satu variabel, kami mengambil semua variabel lain yang termasuk dalam fungsi ini sebagai konstanta.
2. Saat bekerja dengan turunan parsial, kami menggunakan semua rumus standar yang sama seperti turunan biasa: jumlah, selisih, turunan produk dan hasil bagi dan, tentu saja, turunan dari fungsi kompleks.

Tentu saja, menonton video pelajaran ini saja tidak cukup untuk memahami topik ini sepenuhnya, jadi sekarang di situs web saya untuk video khusus ini ada serangkaian tugas yang didedikasikan untuk topik hari ini - masuk, unduh, selesaikan masalah ini, dan periksa dengan menjawab. Dan setelah itu, Anda tidak akan memiliki masalah dengan turunan parsial baik dalam ujian maupun dalam pekerjaan mandiri. Tentu saja, ini bukan pelajaran terakhir dalam matematika tingkat tinggi, jadi kunjungi situs web kami, tambahkan VKontakte, berlangganan YouTube, suka dan tetap bersama kami!

Turunan parsial dari fungsi dua variabel.
Konsep dan contoh solusi

Dalam pelajaran ini, kita akan melanjutkan pengenalan kita dengan fungsi dua variabel dan mempertimbangkan mungkin tugas tematik yang paling umum - menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua, serta diferensial total dari fungsi... Mahasiswa paruh waktu cenderung menemui turunan parsial dalam 1 tahun studi dalam 2 semester. Apalagi menurut pengamatan saya, tugas mencari turunan parsial hampir selalu ditemui dalam ujian.

Untuk mempelajari materi di bawah ini secara efektif, Anda diperlukan dapat lebih atau kurang percaya diri menemukan turunan "biasa" dari suatu fungsi dari satu variabel. Anda dapat mempelajari cara menangani turunan dengan benar di dalam kelas. Bagaimana cara menemukan turunannya? dan Turunan dari fungsi kompleks... Kita juga membutuhkan tabel turunan dari fungsi dasar dan aturan diferensiasi, paling mudah jika tersedia dalam bentuk cetak. Anda bisa mendapatkan bahan referensi di halaman Rumus dan tabel matematika.

Mari kita ulangi konsep fungsi dua variabel dengan cepat, saya akan mencoba membatasi diri saya hingga minimum. Fungsi dari dua variabel biasanya ditulis sebagai, sedangkan variabelnya disebut Variabel independen atau argumen.

Contoh: - fungsi dari dua variabel.

Perekaman terkadang digunakan. Ada juga tugas di mana surat digunakan sebagai pengganti surat.

Dari sudut pandang geometris, fungsi dua variabel paling sering merupakan permukaan ruang tiga dimensi (bidang, silinder, bola, paraboloid, hiperboloid, dll.). Tetapi, pada kenyataannya, ini sudah lebih merupakan geometri analitis, dan dalam agenda kami adalah analisis matematis, yang tidak pernah boleh dihapuskan oleh guru universitas saya adalah "kuda hobi" saya.

Kami beralih ke pertanyaan menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua. Kabar baik bagi mereka yang minum beberapa cangkir kopi dan mendengarkan materi yang sulit dibayangkan: turunan parsial hampir sama dengan turunan "biasa" dari fungsi satu variabel.

Untuk turunan parsial, semua aturan turunan dan tabel turunan fungsi dasar valid. Hanya ada beberapa perbedaan kecil yang akan kita ketahui sekarang:

... ya, omong-omong, untuk topik ini saya memang membuat buku pdf kecil, yang akan memungkinkan Anda untuk "mengisi tangan Anda" hanya dalam beberapa jam. Tetapi, dengan menggunakan situs ini, Anda, tentu saja, juga akan mendapatkan hasilnya - hanya mungkin sedikit lebih lambat:

Contoh 1

Tentukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua fungsi tersebut

Pertama, kita cari turunan parsial dari orde pertama. Ada dua dari mereka.

sebutan:
atau - turunan parsial terhadap "x"
atau - turunan parsial terhadap "y"

Mari kita mulai dengan. Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "x", maka variabel tersebut dianggap konstan (bilangan konstan).

Komentar tentang tindakan yang dilakukan:

(1) Hal pertama yang kita lakukan ketika mencari turunan parsial adalah menyimpulkan keseluruhan fungsi dalam tanda kurung di bawah goresan berlangganan.

Perhatian, penting! Kami TIDAK KEHILANGAN subskrip di sepanjang jalan. Dalam hal ini, jika Anda menggambar "goresan" di suatu tempat di luar, maka guru, setidaknya, dapat meletakkan di sebelah tugas (segera menggigit bagian dari skor karena kurangnya perhatian).

(2) Kami menggunakan aturan diferensiasi ,. Untuk contoh sederhana seperti ini, kedua aturan dapat diterapkan dalam satu langkah. Perhatikan suku pertama: karena dianggap sebagai konstanta, dan setiap konstanta dapat dipindahkan di luar tanda turunan, lalu kita keluarkan tanda kurung. Artinya, dalam situasi ini, itu tidak lebih baik dari angka biasa. Sekarang mari kita lihat istilah ketiga: di sini, sebaliknya, tidak ada yang bertahan. Karena itu adalah konstanta, itu juga konstan, dan dalam pengertian ini tidak lebih baik dari istilah terakhir - "tujuh".

(3) Kami menggunakan turunan tabel dan.

(4) Menyederhanakan, atau, seperti yang saya suka katakan, "menyisir" jawabannya.

Sekarang . Ketika kita menemukan turunan parsial sehubungan dengan "permainan", maka variabeldianggap konstan (angka konstan).

(1) Kami menggunakan aturan diferensiasi yang sama ,. Pada suku pertama, kita keluarkan konstanta di belakang tanda turunannya, pada suku kedua, tidak ada yang bisa dihilangkan, karena sudah merupakan konstanta.

(2) Kami menggunakan tabel turunan dari fungsi dasar. Mari kita ubah secara mental semua X di tabel menjadi igreki. Artinya, tabel ini sama-sama valid untuk (dan memang untuk hampir semua huruf). Secara khusus, rumus yang kami gunakan terlihat seperti ini: dan.

Apa yang dimaksud dengan turunan parsial?

Pada dasarnya, turunan parsial orde 1 menyerupai Turunan "biasa":

- ini fungsi yang mencirikan tingkat perubahan fungsi dalam arah sumbu dan masing-masing. Jadi, misalnya, fungsi mencirikan kecuraman "pendakian" dan "lereng" permukaan dalam arah absis, dan fungsinya memberitahu kita tentang "relief" dari permukaan yang sama dalam arah ordinat.

! Catatan : ini mengacu pada arah yang paralel sumbu koordinat.

Untuk pemahaman yang lebih baik, pertimbangkan titik tertentu pada bidang dan hitung nilai fungsi ("tinggi") di dalamnya:
- Sekarang bayangkan Anda berada di sini (PADA permukaan yang SAMA).

Mari kita hitung turunan parsial terhadap "x" pada titik ini:

Tanda negatif dari turunan "x" memberitahu kita tentang menurun berfungsi pada suatu titik sepanjang sumbu absis. Dengan kata lain, jika kita melakukan hal kecil, kecil (kecil sekali) satu langkah menuju ujung poros (sejajar dengan sumbu ini), lalu kita menuruni kemiringan permukaan.

Sekarang mari kita cari tahu sifat "medan" ke arah ordinat:

Turunan sehubungan dengan "permainan" adalah positif, oleh karena itu, pada suatu titik di sepanjang arah sumbu, fungsi meningkat... Sederhananya, ada pendakian yang menunggu kita di sini.

Selain itu, turunan parsial pada titik mencirikan tingkat perubahan fungsi dalam arah yang sesuai. Dari nilai yang diterima lebih banyak modulo- semakin curam permukaannya, dan sebaliknya, semakin dekat ke nol - semakin rata permukaannya. Jadi, dalam contoh kita, "kemiringan" pada arah sumbu absis lebih curam daripada "gunung" pada arah ordinat.

Tapi ini adalah dua jalur khusus. Cukup jelas bahwa dari titik di mana kita berada, (dan umumnya dari titik mana pun pada permukaan tertentu) kita bisa bergerak ke arah lain. Dengan demikian, menarik untuk menyusun "peta navigasi" umum yang akan memberi tahu kita tentang "lanskap" permukaan jika memungkinkan di setiap titik ruang lingkup fungsi ini pada semua jalur yang tersedia. Saya akan membicarakan hal ini dan hal-hal menarik lainnya di salah satu pelajaran berikutnya, tetapi untuk sekarang, mari kembali ke sisi teknis dari masalah ini.

Mari kita sistematiskan aturan dasar yang diterapkan:

1) Ketika kita membedakan terhadap, maka variabel dianggap konstan.

2) Ketika diferensiasi dilakukan menurut, maka dianggap konstan.

3) Aturan dan tabel turunan dari fungsi dasar berlaku dan berlaku untuk variabel apa pun (atau lainnya), di mana diferensiasi dilakukan.

Langkah dua. Temukan turunan parsial dari orde kedua. Ada empat dari mereka.

sebutan:
atau - turunan kedua terhadap "x"
atau - turunan kedua sehubungan dengan "permainan"
atau - Campuran turunan x-by-y
atau - Campuran Turunan X-game

Tidak ada masalah dengan turunan kedua. Secara sederhana, turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama.

Untuk kenyamanan, saya akan menulis ulang turunan parsial orde pertama yang telah saya temukan:

Pertama, mari kita cari turunan campurannya:

Seperti yang Anda lihat, semuanya sederhana: kami mengambil turunan parsial dan membedakannya lagi, tetapi dalam kasus ini - sudah "main-main".

Demikian pula:

Dalam contoh praktis, Anda dapat fokus pada persamaan berikut::

Jadi, dengan menggunakan turunan campuran orde kedua, sangat mudah untuk memeriksa apakah kita telah menemukan turunan parsial orde pertama dengan benar.

Kami menemukan turunan kedua sehubungan dengan "x".
Tidak ada penemuan, kami mengambil dan bedakan dengan "x" lagi:

Demikian pula:

Perlu dicatat bahwa ketika menemukan, Anda perlu menunjukkan perhatian yang meningkat, karena tidak ada persamaan yang luar biasa untuk mengujinya.

Turunan kedua juga menemukan aplikasi praktis yang luas, khususnya, mereka digunakan dalam masalah menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel... Tapi semuanya ada waktunya:

Contoh 2

Hitung turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi di suatu titik. Temukan turunan dari orde kedua.

Ini adalah contoh untuk solusi independen (jawaban di akhir pelajaran). Jika Anda kesulitan membedakan akar, kembali ke pelajaran Bagaimana cara menemukan turunannya? Secara umum, segera Anda akan belajar cara menemukan turunan seperti itu "dengan cepat".

Kami mengisi tangan kami dengan contoh yang lebih kompleks:

Contoh 3

Periksa apa. Tuliskan diferensial total dari orde pertama.

Solusi: Temukan turunan parsial dari orde pertama:

Perhatikan subscript:, di sebelah "x" tidak dilarang untuk menulis dalam tanda kurung yang merupakan konstanta. Tanda ini bisa sangat berguna bagi pemula untuk membantu mereka menavigasi solusi.

Komentar lebih lanjut:

(1) Pindahkan semua konstanta di luar tanda turunan. Dalam hal ini, dan, dan, oleh karena itu, produk mereka dianggap sebagai bilangan konstan.

(2) Jangan lupa cara membedakan akar dengan benar.

(1) Pindahkan semua konstanta di luar tanda turunan, dalam hal ini konstanta tersebut adalah.

(2) Di bawah prima, kita memiliki produk dari dua fungsi, oleh karena itu, kita perlu menggunakan aturan diferensiasi produk .

(3) Jangan lupa bahwa - ini adalah fungsi kompleks (walaupun ini adalah yang paling sederhana dari kompleks). Kami menggunakan aturan yang sesuai: .

Sekarang kita temukan turunan campuran dari orde kedua:

Ini berarti bahwa semua perhitungan dilakukan dengan benar.

Mari kita tuliskan diferensial totalnya. Dalam konteks masalah yang sedang dipertimbangkan, tidak masuk akal untuk mengatakan apa diferensial total dari fungsi dua variabel. Adalah penting bahwa perbedaan ini sangat sering perlu dituliskan dalam masalah-masalah praktis.

Diferensial total orde pertama fungsi dari dua variabel memiliki bentuk:

Pada kasus ini:

Artinya, dalam rumus, Anda hanya perlu mengganti turunan parsial orde pertama yang sudah ditemukan. Simbol diferensial dalam situasi ini dan situasi serupa, jika mungkin, paling baik ditulis dalam pembilang:

Dan atas permintaan berulang dari pembaca, diferensial total orde kedua.

Ini terlihat seperti ini:

HATI-HATI temukan turunan "satu huruf" dari orde ke-2:

dan tulis "monster", dengan hati-hati "melampirkan" kotak, produk dan tidak lupa menggandakan turunan campuran:

Tidak apa-apa jika sesuatu tampak sulit, Anda selalu dapat kembali ke turunan nanti, setelah Anda mengambil teknik diferensiasi:

Contoh 4

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi ... Periksa apa. Tuliskan diferensial total dari orde pertama.

Mari kita lihat serangkaian contoh dengan fungsi kompleks:

Contoh 5

Tentukan turunan parsial dari orde pertama fungsi tersebut.

Larutan:

Contoh 6

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .
Tuliskan diferensial totalnya.

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself (jawaban di akhir tutorial). Saya tidak memberikan solusi lengkap, karena cukup sederhana.

Cukup sering, semua aturan di atas diterapkan dalam kombinasi.

Contoh 7

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

(1) Kami menggunakan aturan untuk membedakan jumlah

(2) Suku pertama dalam hal ini dianggap konstan, karena tidak ada ekspresi yang bergantung pada "x" - hanya "permainan". Anda tahu, selalu menyenangkan ketika pecahan bisa diubah menjadi nol). Untuk suku kedua, kami menerapkan aturan diferensiasi produk. Omong-omong, dalam pengertian ini, tidak ada yang akan berubah jika sebuah fungsi diberikan sebagai gantinya - penting bahwa di sini produk dari dua fungsi, yang masing-masing tergantung pada "X", dan oleh karena itu, perlu menggunakan aturan diferensiasi produk. Untuk suku ketiga, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

(1) Suku pertama dalam pembilang dan penyebut mengandung "permainan", oleh karena itu, Anda perlu menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi: ... Istilah kedua HANYA tergantung pada "x", yang berarti dianggap konstan dan berubah menjadi nol. Untuk suku ketiga, kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks.

Bagi para pembaca yang dengan berani mencapai hampir akhir pelajaran, saya akan memberi tahu Anda lelucon Mekhmatov lama untuk relaksasi:

Begitu berada di ruang fungsi, turunan jahat muncul dan bagaimana ia membedakan semua orang. Semua fungsi tersebar di mana pun, tidak ada yang mau beralih! Dan hanya satu fungsi yang tidak lari kemana-mana. Derivatif mendekatinya dan bertanya:

- Kenapa kamu tidak lari dariku?

- Ha. Tapi saya tidak peduli, karena saya "e dalam kekuatan x", dan Anda tidak akan melakukan apa pun dengan saya!

Di mana turunan jahat itu membalas dengan senyum licik:

- Di sini Anda salah, saya akan membedakan Anda dengan "permainan", jadi Anda akan menjadi nol.

Siapa pun yang memahami anekdot telah menguasai turunannya, setidaknya dengan "tiga").

Contoh 8

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Solusi lengkap dan contoh desain masalah ada di akhir pelajaran.

Yah, itu hampir semuanya. Akhirnya, saya tidak bisa tidak menyenangkan para pecinta matematika dengan satu contoh lagi. Bahkan bukan masalah amatir, setiap orang memiliki tingkat pelatihan matematika yang berbeda - ada orang (dan tidak jarang) yang suka bersaing dengan tugas yang lebih sulit. Meskipun, contoh terakhir dalam pelajaran ini tidak terlalu rumit dan rumit dalam hal perhitungan.

Untuk meringkas, apa perbedaan antara menemukan turunan parsial dan menemukan turunan "biasa" dari suatu fungsi dari satu variabel:

1) Ketika kita menemukan turunan parsial, kemudian variabel dianggap konstan.

2) Ketika kita menemukan turunan parsial, kemudian variabel dianggap konstan.

3) Aturan dan tabel turunan fungsi dasar berlaku dan berlaku untuk variabel apa pun ( , atau lainnya), yang dengannya diferensiasi dilakukan.

Langkah dua. Temukan turunan parsial dari orde kedua. Ada empat dari mereka.

Legenda:

Atau - turunan kedua sehubungan dengan "x"

Atau - turunan kedua sehubungan dengan "y"

Atau - Campuran turunan "menurut x yrek"

Atau - Campuran turunan y-x

Tidak ada yang rumit dalam konsep turunan kedua. Secara sederhana, turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama.

Untuk kejelasan, saya akan menulis ulang turunan parsial orde pertama yang sudah ditemukan:

Pertama, mari kita cari turunan campurannya:

Seperti yang Anda lihat, semuanya sederhana: kami mengambil turunan parsial dan membedakannya lagi, tetapi dalam kasus ini - sudah "main-main".

Demikian pula:

Untuk contoh praktis, ketika semua turunan parsial kontinu, persamaan berikut ini benar:

Jadi, dengan menggunakan turunan campuran orde kedua, sangat mudah untuk memeriksa apakah kita telah menemukan turunan parsial orde pertama dengan benar.

Kami menemukan turunan kedua sehubungan dengan "x".

Tidak ada penemuan, kami mengambil dan bedakan dengan "x" lagi:

Demikian pula:

Perlu dicatat bahwa ketika menemukan, Anda perlu menunjukkan perhatian yang meningkat, karena tidak ada persamaan yang bagus untuk diuji.

Contoh 2

Tentukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua fungsi tersebut

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself (jawaban di akhir tutorial).

Dengan pengalaman tertentu, turunan parsial dari contoh 1,2 akan Anda selesaikan secara lisan.

Pindah ke contoh yang lebih kompleks.

Contoh 3

Periksa apa. Tuliskan diferensial total dari orde pertama.

Solusi: Temukan turunan parsial dari orde pertama:

Perhatikan subscript:, di sebelah "x" tidak dilarang untuk menulis dalam tanda kurung yang merupakan konstanta. Tanda ini bisa sangat berguna bagi pemula untuk membantu mereka menavigasi solusi.

Komentar lebih lanjut:

(1) Pindahkan semua konstanta di luar tanda turunan. Dalam hal ini, dan, dan, oleh karena itu, produk mereka dianggap sebagai bilangan konstan.

(2) Jangan lupa cara membedakan akar dengan benar.

(1) Pindahkan semua konstanta di luar tanda turunan, dalam hal ini konstanta tersebut adalah.

(2) Di bawah prima, kita memiliki produk dari dua fungsi, oleh karena itu, kita perlu menggunakan aturan diferensiasi produk .

(3) Jangan lupa bahwa - ini adalah fungsi kompleks (walaupun ini adalah yang paling sederhana dari kompleks). Kami menggunakan aturan yang sesuai: .

Sekarang kita temukan turunan campuran dari orde kedua:

Ini berarti bahwa semua perhitungan dilakukan dengan benar.

Mari kita tuliskan diferensial totalnya. Dalam konteks masalah yang sedang dipertimbangkan, tidak masuk akal untuk mengatakan apa diferensial total dari fungsi dua variabel. Adalah penting bahwa perbedaan ini sangat sering perlu dituliskan dalam masalah-masalah praktis.

Diferensial penuh dari orde pertama fungsi dua variabel memiliki bentuk:

Pada kasus ini:

Artinya, Anda hanya perlu mengganti turunan parsial orde pertama yang sudah ditemukan dalam rumus. Simbol diferensial dalam situasi ini dan situasi serupa, jika mungkin, paling baik ditulis dalam pembilang:

Contoh 4

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi ... Periksa apa. Tuliskan diferensial total dari orde pertama.

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself. Solusi lengkap dan contoh desain masalah ada di akhir pelajaran.

Mari kita lihat serangkaian contoh yang menyertakan fungsi kompleks.

Contoh 5

Tentukan turunan parsial dari orde pertama fungsi tersebut.

(1) Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks ... Dari pelajaran Turunan dari fungsi kompleks perlu diingat poin yang sangat penting: ketika kita mengubah sinus (fungsi eksternal) menjadi cosinus sesuai dengan tabel, maka embedding (fungsi internal) yang kita miliki tidak berubah.

(2) Di sini kita menggunakan properti akar:, pindahkan konstanta di luar tanda turunan, dan mewakili akar dalam bentuk yang diperlukan untuk diferensiasi.

Demikian pula:

Kami menuliskan diferensial total dari orde pertama:

Contoh 6

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

Tuliskan diferensial totalnya.

Ini adalah contoh untuk solusi do-it-yourself (jawaban di akhir tutorial). Saya tidak memberikan solusi lengkap, karena cukup sederhana.

Cukup sering, semua aturan di atas diterapkan dalam kombinasi.

Contoh 7

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

(1) Kami menggunakan aturan diferensiasi jumlah.

(2) Suku pertama dalam hal ini dianggap konstan, karena tidak ada ekspresi yang bergantung pada "x" - hanya "permainan".

(Anda tahu, selalu menyenangkan ketika pecahan dapat diubah menjadi nol).

Untuk suku kedua, kami menerapkan aturan diferensiasi produk. Omong-omong, tidak ada yang akan berubah dalam algoritme jika suatu fungsi diberikan sebagai gantinya - penting bahwa di sini kita memiliki produk dari dua fungsi, yang masing-masing bergantung pada "x", jadi Anda perlu menggunakan aturan diferensiasi produk. Untuk suku ketiga, kami menerapkan aturan untuk membedakan fungsi kompleks.

Setiap turunan parsial (oleh x dan oleh kamu) dari fungsi dua variabel adalah turunan biasa dari fungsi satu variabel dengan nilai tetap dari variabel lainnya:

(di mana kamu= konstan),

(di mana x= konstan).

Oleh karena itu, turunan parsial dihitung dari rumus dan aturan untuk menghitung turunan fungsi satu variabel, dengan asumsi bahwa variabel lainnya adalah konstan (konstan).

Jika Anda tidak memerlukan analisis contoh dan teori minimum yang diperlukan untuk ini, tetapi hanya membutuhkan solusi untuk masalah Anda, maka buka kalkulator turunan parsial online .

Jika sulit untuk berkonsentrasi untuk melacak di mana konstanta berada dalam fungsi, maka Anda dapat mengganti angka apa pun alih-alih variabel dengan nilai tetap dalam solusi kasar contoh - maka akan mungkin untuk menghitung dengan cepat turunan parsial sebagai turunan biasa dari fungsi satu variabel. Anda hanya perlu ingat untuk mengembalikan konstanta (variabel dengan nilai tetap) ke tempatnya selama penyelesaian.

Sifat turunan parsial yang dijelaskan di atas mengikuti definisi turunan parsial, yang dapat ditemukan dalam soal-soal ujian. Oleh karena itu, untuk membiasakan diri dengan definisi di bawah ini, Anda dapat membuka referensi teoritis.

Kontinuitas fungsi z= F(x, kamu) pada suatu titik didefinisikan mirip dengan konsep ini untuk fungsi satu variabel.

Fungsi z = F(x, kamu) disebut kontinu di suatu titik jika

Selisih (2) disebut kenaikan total fungsi z(diperoleh dengan menambah kedua argumen).

Biarkan fungsinya z= F(x, kamu) dan titik

Jika fungsi berubah z terjadi ketika hanya salah satu argumen yang berubah, misalnya x, dengan nilai tetap dari argumen lain kamu, maka fungsinya akan bertambah

disebut kenaikan fungsi parsial F(x, kamu) pada x.

Mempertimbangkan untuk mengubah fungsi z tergantung pada perubahan hanya pada salah satu argumen, kita sebenarnya pergi ke fungsi satu variabel.

Jika ada batas yang terbatas

maka disebut turunan parsial dari fungsi tersebut F(x, kamu) dengan argumen x dan dilambangkan dengan salah satu simbol

(4)

Kenaikan parsial didefinisikan dengan cara yang sama z pada kamu:

dan turunan parsial F(x, kamu) pada kamu:

(6)

Contoh 1.

Larutan. Kami menemukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "x":

(kamu tetap);

Temukan turunan parsial sehubungan dengan variabel "permainan":

(x tetap).

Seperti yang Anda lihat, tidak masalah sejauh mana variabel yang diperbaiki: dalam kasus ini, hanya beberapa angka yang merupakan faktor (seperti dalam kasus turunan biasa) dari variabel di mana kita menemukan sebagian turunan. Jika variabel tetap tidak dikalikan dengan variabel di mana kita menemukan turunan parsial, maka konstanta kesepian ini, tidak ada bedanya sejauh mana, seperti dalam kasus turunan biasa, ia hilang.

Contoh 2. Fungsinya diberikan

Temukan Derivatif Parsial

(oleh x) dan (berdasarkan game) dan hitung nilainya pada titik A (1; 2).

Larutan. Dengan tetap kamu turunan dari suku pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi pangkat ( tabel turunan fungsi satu variabel):

.

Dengan tetap x turunan dari istilah pertama ditemukan sebagai turunan dari fungsi eksponensial, dan yang kedua sebagai turunan dari konstanta:

Sekarang kita menghitung nilai turunan parsial ini pada titik A (1; 2):

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Contoh 3. Menemukan turunan parsial dari suatu fungsi

Larutan. Dalam satu langkah kita menemukan

(kamu x seolah-olah argumen sinus adalah 5 x: dengan cara yang sama 5 muncul sebelum tanda fungsi);

(x adalah tetap dan dalam hal ini merupakan faktor di kamu).

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Turunan parsial fungsi dari tiga variabel atau lebih didefinisikan dengan cara yang sama.

Jika setiap himpunan nilai ( x; kamu; ...; T) dari variabel bebas dari himpunan D cocok dengan satu nilai tertentu kamu dari orang banyak E, kemudian kamu disebut fungsi dari variabel x, kamu, ..., T dan menunjukkan kamu= F(x, kamu, ..., T).

Untuk fungsi tiga variabel atau lebih, tidak ada interpretasi geometrik.

Turunan parsial dari suatu fungsi beberapa variabel juga ditentukan dan dihitung dengan asumsi bahwa hanya satu variabel bebas yang berubah, sedangkan yang lain tetap.

Contoh 4. Menemukan turunan parsial dari suatu fungsi

.

Larutan. kamu dan z tetap:

x dan z tetap:

x dan kamu tetap:

Temukan sendiri turunan parsialnya dan lihat solusinya

Contoh 5.

Contoh 6. Temukan turunan parsial dari fungsi tersebut.

Turunan parsial suatu fungsi dari beberapa variabel memiliki persamaan arti mekanisnya adalah turunan dari suatu fungsi dari satu variabel, adalah laju perubahan fungsi relatif terhadap perubahan salah satu argumen.

Contoh 8. Laju aliran kuantitatif NS penumpang kereta api dapat dinyatakan dengan fungsi

di mana NS- jumlah penumpang, n- jumlah penduduk dari titik yang sesuai, R- jarak antar titik.

Turunan parsial dari suatu fungsi NS pada R sama dengan

menunjukkan bahwa penurunan arus penumpang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara titik-titik yang bersesuaian untuk jumlah penduduk yang sama di titik-titik tersebut.

Turunan parsial NS pada n sama dengan

menunjukkan bahwa peningkatan arus penumpang sebanding dengan dua kali lipat jumlah penduduk permukiman dengan jarak yang sama antar permukiman.

Anda dapat memeriksa solusi masalah dengan turunan parsial di kalkulator turunan parsial online .

Diferensial penuh

Produk turunan parsial dan kenaikan variabel bebas yang bersesuaian disebut diferensial parsial. Diferensial parsial dilambangkan sebagai berikut:

Jumlah diferensial parsial atas semua variabel independen memberikan diferensial total. Untuk fungsi dua variabel bebas, diferensial total dinyatakan dengan persamaan

(7)

Contoh 9. Temukan Diferensial Total dari suatu Fungsi

Larutan. Hasil penggunaan rumus (7):

Suatu fungsi yang memiliki diferensial total pada setiap titik dari suatu daerah tertentu disebut terdiferensiasi di daerah ini.

Temukan sendiri diferensial lengkapnya dan lihat solusinya

Seperti halnya fungsi satu variabel, diferensiasi suatu fungsi di wilayah tertentu menyiratkan kontinuitasnya di wilayah ini, tetapi tidak sebaliknya.

Mari kita rumuskan tanpa bukti suatu kondisi yang cukup untuk diferensiasi suatu fungsi.

Dalil. Jika fungsi z= F(x, kamu) memiliki turunan parsial kontinu

dalam suatu luasan tertentu, maka terdiferensialkan pada luas tersebut dan diferensialnya dinyatakan dengan rumus (7).

Dapat ditunjukkan bahwa, seperti dalam kasus fungsi satu variabel, diferensial fungsi adalah bagian linier utama dari kenaikan fungsi, sehingga dalam kasus fungsi beberapa variabel, diferensial totalnya adalah utama, linier sehubungan dengan kenaikan variabel independen, bagian dari total kenaikan fungsi.

Untuk fungsi dua variabel, kenaikan total fungsi memiliki bentuk:

(8)

di mana dan sangat kecil untuk dan.

Turunan parsial dari pesanan yang lebih tinggi

Turunan parsial dan fungsi F(x, kamu) adalah beberapa fungsi dari variabel yang sama dan, pada gilirannya, dapat memiliki turunan terhadap variabel yang berbeda, yang disebut turunan parsial orde tinggi.

Biarkan fungsi diberikan. Karena x dan y adalah variabel independen, salah satunya dapat berubah, sementara yang lain mempertahankan nilainya. Berikan variabel independen x kenaikan sambil menjaga nilai y tidak berubah. Kemudian z akan menerima kenaikan, yang disebut kenaikan parsial z terhadap x dan dilambangkan dengan. Jadi, .

Demikian pula, kami memperoleh kenaikan parsial z sehubungan dengan y :.

Kenaikan total fungsi z ditentukan oleh persamaan.

Jika ada limit, maka disebut turunan parsial dari fungsi di suatu titik terhadap variabel x dan dilambangkan dengan salah satu simbol:

.

Turunan parsial terhadap x pada suatu titik biasanya dilambangkan dengan simbol .

Turunan parsial dari variabel y didefinisikan dan dilambangkan dengan cara yang sama:

Dengan demikian, turunan parsial dari suatu fungsi beberapa (dua, tiga atau lebih) variabel didefinisikan sebagai turunan dari suatu fungsi dari salah satu variabel tersebut, asalkan nilai-nilai variabel bebas yang tersisa adalah konstan. Oleh karena itu, turunan parsial dari suatu fungsi ditemukan dengan rumus dan aturan untuk menghitung turunan dari suatu fungsi dari satu variabel (dalam hal ini, x atau y dianggap konstan).

Turunan parsial disebut turunan parsial orde pertama. Mereka dapat dilihat sebagai fungsi dari. Fungsi-fungsi ini dapat memiliki turunan parsial, yang disebut turunan parsial orde kedua. Mereka didefinisikan dan diberi label sebagai berikut:

; ;

; .

Diferensial 1 dan 2 orde fungsi dua variabel.

Diferensial total suatu fungsi (rumus 2.5) disebut diferensial orde pertama.

Rumus untuk menghitung diferensial total adalah sebagai berikut:

(2.5) atau , di mana ,

diferensial parsial fungsi.

Biarkan fungsi memiliki turunan parsial orde dua kontinu. Diferensial orde kedua ditentukan oleh rumus. Mari kita temukan:

Karenanya:. Ini secara simbolis ditulis sebagai berikut:

.

INTEGRAL TIDAK TERDEFINISI.

Antiturunan suatu fungsi, integral tak tentu, sifat-sifat.

Fungsi F(x) disebut anti turunan untuk fungsi tertentu f (x), jika F "(x) = f (x), atau, yang sama, jika dF (x) = f (x) dx.

Dalil. Jika suatu fungsi f (x), yang didefinisikan dalam beberapa interval (X) dengan panjang berhingga atau tak hingga, memiliki satu antiturunan, F (x), maka fungsi tersebut juga memiliki banyak antiturunan; mereka semua terkandung dalam ekspresi F (x) + , di mana adalah konstanta arbitrer.

Kumpulan semua antiturunan untuk fungsi tertentu f (x), yang didefinisikan dalam beberapa interval atau pada beberapa segmen dengan panjang hingga atau tak terbatas, disebut integral tak tentu dari fungsi f (x) [atau dari ekspresi f (x) dx] dan dilambangkan dengan simbol.

Jika F(x) adalah salah satu antiturunan untuk f(x), maka menurut teorema antiturunan

, dimana C adalah konstanta sembarang.

Dengan definisi antiturunan F "(x) = f (x) dan, oleh karena itu, dF (x) = f (x) dx. Dalam rumus (7.1), f (x) disebut integran, dan f (x ) dx adalah ekspresi integral.