Определить осевые моменты инерции относительно центральных осей. Оси инерции. Примеры решения задач

Из формул (6.29) - (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями , а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения .

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I 1 и I 2 причем I 1 > I 2 . Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от I u по α и приравняем ее нулю:

.

К тому же результату приводит и условие dI v /d α . Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I 1 , а знак минус - меньшему I 2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (I yz =0), а I y =I z . Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции I uv =0, а осевые I u = I v .

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: I u = I v = I y = I z . Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида

При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения - центробежным моментом инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а)

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида

где р - расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции - см 4 , мм 4 .

Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:

Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).

Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (х с,ус)> определяются из выражений:

где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).

Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Обратите внимание : координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.

Рис. 34.

Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.

В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:

где а - угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным , если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.

Рис. 35.

Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:

При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно , следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.

Направление главных осей инерции можно определить так:

Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.

Рис. 36.

В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями , опуская слово «центральные».

Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.

Рис. 37.

Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.

В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.

Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален , относительно другой - минимален :

Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: J y , тогда: J u = J x cos 2 a +J y sin а = J x .

Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:

гдeJ xi , J y „ J xiyi -моменты инерции отдельных частей сечения.

NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.

Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.

Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:

Момент сопротивления имеет размерность мм 3 , см 3 .

Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.

Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у - i x и i y соответственно, которые определяются по следующим формулам.

Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.

Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.

Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.

Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:

Приравниваем этот результат нулю:

где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.

Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что

Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.

Решим уравнение (35.5) относительно угла

Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.

При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).

Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем

Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае

2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось

Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).

Главные оси - это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и мак­симальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Ис­пользуем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямо­угольника.

Для круга

Для прямоугольника

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А - площадь сечения; а - расстояние между осями Ох и Ох о .

Момент инерции сечения

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сече­ния относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандарт­ных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox 1 = 572 см 4 .

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox 2 = 757 см 4 .

Площадь А 2 = 18,1см 2 , Jo y 2 = 63,3см 4 .

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относи­тельно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.

у 2 = (h 1 /2) + d 2 - zo 2 , по ГОСТ находим h 1 = 14 см; d 2 = 5 мм; z o = 1,8 см.

Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае

Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.

Решение

Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными центральными осями.

Разбиваем сечение на две про­стейшие фигуры: прямоугольник (I ) и два круга (II).

Момент инерции сечения относи­тельно оси х

Ось x (центральная ось сечения) не является централь­ной осью круга. Следовательно, момент инерции круга следует вычислять по формуле

Подставляя значения J x ’’ , a, F" в формулу, получаем

Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,

Пример 4. Для заданного сечения (рис.2.46)определить положение главных центральных осей и вы­числить главные центральные моменты инерции.

Решение

Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью сим­метрии сечения. Раз­бив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) иII (140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим коорди­нату центра тяжести v 0 по формуле

Оси Ох и Оу - главные центральные оси сечения (Оу - ось симметрии, ось Ох проходит через центр тя­жести сечения и перпендикулярна к Оу).

Вычислим главные моменты инерции сечения J x и J y:

Ось Оу является центральной осью для прямоуголь­ников 1 и 11. Следовательно,

Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Со­впадение результатов явится подтверждением их правильности.

Пример 5. Вы­числить главные цент­ральные моменты инер­ции сечения (рис. 2.47).

Решение

Сечение имеет две оси симмет­рии, которые и являют­ся его главными цент­ральными осями.

Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем J X 1 = J x = 747 см 4 ; J y 1 = 63 , 3 см 9 , F 1 = 18,1см 2 , z 0 = 1,8см.

Вычислим J x и J y:

Пример 6. Определить положение главных цент­ральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).

Решение

Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8239 - 72.

Для швеллера № 20 J Xl = 113 см 4 (в таблице J y); J y 1 = 1520 см 4 (в таблице J x); F 1 = 23,4 см 2 ; г 0 = 2,07 см.

Для двутавра №18 J x 2 = 1330 см 4 (в таблице J x); Jy 2 = 94,6 см 4 (в таблице J y); F 2 = 23,8 см 2 .

Одной из главных осей является ось симметрии Оу , другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.

Выбираем вспомогательную ось и и определяем ко­ординату v 0 :

где v 1 = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v 2 = 180/2 = 90 мм. Вычисляем J x и J у:

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J x = 2,5 мм 4 и J y = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J x = 4 см 4 . Определите величину J p .

4. В каком случае J x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной цен­тральной оси J XQ = 174см 4 ; площадь поперечного сечения 10,9 см 2 .

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходя­щей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох пря­моугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш.сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия ..1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1988 .