Деление с остатком 6 8. Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка. Когда делитель больше делимого

Деление с остатком - это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Выполнить деление не всегда возможно, так как бывают случаи, когда одно число не делится на другое. Например, число 11 не делится на 3, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 3 получилось бы 11.

Когда деление невозможно выполнить условились делить не всё делимое, а только наибольшую его часть, какая только может разделиться на делитель. В данном примере наибольшая часть делимого, которая может быть разделена на 3 - это 9 (в результате получим 3), оставшаяся меньшая часть делимого - 2 не разделится на 3.

Говоря о делении 11 на 3, 11 по прежнему называется делимым, 3 - делителем, результат деления - число 3, называют неполным частным , а число 2 - остатком от деления . Само деление в этом случае называют делением с остатком.

Неполным частным называют наибольшее число, которое при умножении на делитель даёт произведение, не превосходящее делимого. Разность между делимым и этим произведением называют остатком. Остаток всегда меньше делителя, иначе его тоже можно было бы поделить на делитель.

Деление с остатком можно записывать так:

11: 3 = 3 (остаток 2)

Если при делении одного натурального числа на другое в остатке получается 0, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Например, 4 делится на 2 нацело. Число 5 не делится на 2 нацело. Слово нацело обычно опускают для краткости и говорят: такое-то число делится на другое, например: 4 делится на 2, а 5 не делится на 2.

Проверка деления с остатком

Проверить результат деления с остатком можно следующим способом: неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, равное делимому, то деление с остатком сделано верно:

11: 3 = 3 (остаток 2)

Как научить ребенка делению? Самый простой метод – выучить деление столбиком . Это гораздо проще, чем проводить вычисления в уме, помогает не запутаться, не «потерять» цифры и выработать мысленную схему, которая в дальнейшем будет срабатывать автоматически.

Как проводится

Деление с остатком – это способ, при котором число нельзя разделить ровно на несколько частей. В результате данного математического действия, помимо целой части, остается неделимый кусок.

Приведем простой пример того, как делить с остатком:

Есть банка на 5 литров воды и 2 банки по 2 литра. Когда из пяти литровой банки воду переливают в двухлитровые, в пятилитровой останется 1 литр не использованной воды. Это и есть остаток. В цифровом варианте это выглядит так:

5:2=2 ост (1). Откуда 1? 2х2=4, 5-4=1.

Теперь рассмотрим порядок деления в столбик с остатком. Это визуально облегчает процесс расчета и помогает не потерять числа.

Алгоритм определяет расположение всех элементов и последовательность действий, по которой совершается вычисление. В качестве примера, разделим 17 на 5.

Основные этапы :

1. Правильная запись. Делимое (17) – располагается по левую сторону. Правее от делимого пишут делитель (5). Между ними проводят вертикальную черту (обозначает знак деления), а затем, от этой черты проводят горизонтальную, подчеркивая делитель. Основные черты обозначена оранжевым цветом.
2. Поиск целого. Далее, проводят первый и самый простой расчет – сколько делителей умещается в делимом. Воспользуемся таблицей умножения и проверим по порядку: 5*1=5 — помещается, 5*2=10 — помещается, 5*3=15 — помещается, 5*4=20 – не помещается. Пять раз по четыре – больше чем семнадцать, значит, четвертая пятерка не вмещается. Возвращаемся к трем. В 17 литровую банку влезет 3 пятилитровых. Записываем результат в форму: 3 пишем под чертой, под делителем. 3 – это неполное частное.
3. Определение остатка. 3*5=15. 15 записываем под делимым. Подводим черту (обозначает знак «=»). Вычитаем из делимого полученное число: 17-15=2. Записываем результат ниже под чертой – в столбик (отсюда и название алгоритма). 2 – это остаток.

Обратите внимание! При делении таким образом, остаток всегда должен быть меньше делителя.

Когда делитель больше делимого

Вызывают затруднение случаи, когда делитель получается больше делимого. Десятичные дроби в программе за 3 класс еще не изучаются, но, следуя логике, ответ надо записывать в виде дроби – в лучшем случае десятичной, в худшем – простой. Но (!) помимо программы, методику вычисления ограничивает поставленная задача : необходимо не разделить, а найти остаток! часть им не является! Как решить такую задачу?

Обратите внимание! Существует правило для случаев, когда делитель больше делимого: неполное частное равно 0, остаток равен делимому.

Как разделить число 5 на число 6, выделив остаток? Сколько 6-литровых банок влезет в пятилитровую? , потому что 6 больше 5.

По заданию необходимо заполнить 5 литров – не заполнено ни одного. Значит, остались все 5. Ответ: неполное частное = 0, остаток = 5.

Деление начинают изучать в третьем классе школы. К этому времени ученики уже должны , что позволяет им совершать деление двузначных чисел на однозначные.

Решите задачу: 18 конфет нужно раздать пятерым детям. Сколько конфет останется?

Примеры:

Находим неполное частное: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 – перебор. Возвращаемся к 4.

Остаток: 3*4=12, 14-12=2.

Ответ: неполное частное 4, осталось 2.

Вы можете спросить, почему при делении на 2, остаток либо равен 1, либо 0. По таблице умножения, между цифрами, кратными двум существует разница в единицу .

Еще одна задача: 3 пирожка надо разделить на двоих.

4 пирожка разделить на двоих.

5 пирожков разделить на двоих.

Работа с многозначными числами

Программа за 4 класс предлагает более сложный процесс проведения деления с увеличением расчетных чисел. Если в третьем классе расчеты проводились на основе базовой таблицы умножения в пределах от 1 до 10, то четвероклассники вычисления проводят с многозначными числами более 100.

Данное действие удобнее всего выполнять в столбик, так как неполное частное также будет двузначным числом (в большинстве случаев), а алгоритм столбика облегчает вычисления и делает их более наглядными.

Разделим многозначные числа на двузначные : 386:25

Данный пример отличается от предыдущих количеством уровней расчета, хотя вычисления проводят по тому же принципу, что и ранее. Рассмотрим подробнее:

386 – делимое, 25 – делитель. Необходимо найти неполное частное и выделить остаток.

Первый уровень

Делитель – двузначное число. Делимое – трехзначное. Выделяем у делимого первые две левые цифры – это 38. Сравниваем их с делителем. 38 больше 25? Да, значит, 38 можно разделить на 25. Сколько целых 25 входит в 38?

25*1=25, 25*2=50. 50 больше 38, возвращаемся на один шаг назад.

Ответ – 1. Записываем единицу в зону не полного частного .

38-25=13. Записываем число 13 под чертой.

Второй уровень

13 больше 25? Нет – значит можно «опустить» цифру 6 вниз, дописав ее рядом с 13, справа. Получилось 136. 136 больше 25? Да – значит можно его вычесть. Сколько раз 25 поместиться в 136?

25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 больше 136 – возвращаемся назад на один шаг. Записываем цифру 5 в зону неполного частного, справа от единицы.

Вычисляем остаток:

136-125=11. Записываем под чертой. 11 больше 25? Нет – деление провести нельзя. У делимого остались цифры? Нет – делить больше нечего. Вычисления закончены.

Ответ: неполное частное равно 15, в остатке 11.

А если будет предложено такое деление, когда двузначный делитель больше первых двух цифр многозначного делимого? В таком случае, третья (четвертая, пятая и последующая) цифра делимого принимает участие в вычислениях сразу.

Приведем примеры на деление с трех- и четырехзначными числами:

75 – двузначное число. 386 – трехзначное. Сравниваем первые две цифры слева с делителем. 38 больше 75? Нет – деление провести нельзя. Берем все 3 цифры. 386 больше 75? Да – деление провести можно. Проводим вычисления.

75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5= 375, 75*6=450. 450 больше 386 – возвращаемся на шаг назад. Записываем 5 в зону неполного частного.

Находим остаток: 386-375=11. 11 больше 75? Нет. Еще остались цифры у делимого? Нет. Вычисления закончены.

Ответ: неполное частное = 5, в остатке — 11.

Выполняем проверку: 11 больше 35? Нет – деление провести нельзя. Подставляем третье число – 119 больше 35? Да – действие провести можем.

35*1=35, 35*2=70, 35*3=105, 35*4=140. 140 больше 119 – возвращаемся на один шаг назад. Записываем 3 в зону неполного остатка.

Находим остаток: 119-105=14. 14 больше 35? Нет. Остались цифры у делимого? Нет. Вычисления закончены.

Ответ: неполное частное = 3, осталось — 14.

Проверяем: 11 больше 99? Нет – подставляем еще одну цифру. 119 больше 99? Да – начинаем вычисления.

11<99, 119>99.

99*1=99, 99*2=198 – перебор. Записываем 1 в неполное частное.

Находим остаток: 119-99=20. 20<99. Опускаем 5. 205>99. Вычисляем.

99*1=99, 99*2=198, 99*3=297. Перебор. Записываем 2 в неполное частное.

Находим остаток: 205-198=7.

Ответ: неполное частное = 12, остаток — 7.

Деление с остатком — примеры

Учимся делить в столбик с остатком

Вывод

Таким образом проводятся вычисления. Если быть внимательным и выполнять правила, то ничего сложного здесь не будет. Каждый школьник может научиться считать столбиком, потому что это быстро и удобно.

Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

Общее представление о делении целых чисел с остатками

Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b , отличное от нуля. Если b = 0 , тогда не производят деление с остатком.

Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b , при b отличном от нуля, на c и d . В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b . Запишем таким образом: 0 ≤ d ≤ b . Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b , кратко можно зафиксировать: a: b = c (ост. d).

Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.

При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a , которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину частного с. Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (− 7) : 2 = − 4 (о с т. 1) .

Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a = b · c + d . Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a = b · q + r , где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0 ≤ r ≤ b .

Докажем возможность существования a = b · q + r .

Доказательство

Если существуют два числа a и b , причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что имеется число q , что будет верно равенство a = b · q . Тогда равенство можно считать верным: a = b · q + r при r = 0 .

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b · q < a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Имеем, что значение выражения a − b · q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r = a − b · q . Получим, что число а можем представить в виде a = b · q + r .

Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a = b · q + r для отрицательных значений b .

Модуль числа получается положительным, тогда получим a = b · q 1 + r , где значение q 1 – некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0 ≤ r < b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Доказательство единственности

Допустим, что a = b · q + r , q и r являются целыми числами с верным условием 0 ≤ r < b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 и r 1 являются некоторыми числами, где q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1 < b .

Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , которое равносильно r - r 1 = b · q 1 - q . Так как используется модуль, получим равенство r - r 1 = b · q 1 - q .

Заданное условие говорит о том, что 0 ≤ r < b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q и q 1 – целые, причем q ≠ q 1 , тогда q 1 - q ≥ 1 . Отсюда имеем, что b · q 1 - q ≥ b . Полученные неравенства r - r 1 < b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a = b · q + r .

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a = b · c + d можно находить неизвестное делимое a , когда известен делитель b с неполным частным c и остатком d .

Пример 1

Определить делимое, если при деление получим - 21 , неполное частное 5 и остаток 12 .

Решение

Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b = − 21 , неполным частным с = 5 и остатком d = 12 . Нужно обратиться к равенству a = b · c + d , отсюда получим a = (− 21) · 5 + 12 . При соблюдении порядка выполнения действий умножим - 21 на 5 , после этого получаем (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 .

Ответ: - 93 .

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d = a − b · c . Рассмотрим решение подробно.

Пример 2

Найти остаток от деления целого числа - 19 на целое 3 при известном неполном частном равном - 7 .

Решение

Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d = a − b · c . По условию имеются все данные a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Отсюда получим d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (разность − 19 − (− 21) . Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.

Ответ: 2 .

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Пример 3

Произвести деление 14671 на 54 .

Решение

Данное деление необходимо выполнять столбиком:

То есть неполное частное получается равным 271 , а остаток – 37 .

Ответ: 14 671: 54 = 271 . (ост. 37)

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

Определение 1

Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному от деления модулей чисел a на b . Тогда остаток равен остатку при делении a на b .

Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.

Получим алгоритм:

• делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное и
• остаток;
• запишем число противоположное полученному.

Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример 4

Выполнить деление с остатком 17 на - 5 .

Решение

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на - 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3 , а остаток равен 2 .

Получим, что искомое число от деления 17 на - 5 = - 3 с остатком равным 2 .

Ответ: 17: (− 5) = − 3 (ост. 2).

Пример 5

Необходимо разделить 45 на - 15 .

Решение

Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15 , получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем - 3 , так как деление производилось по модулю.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Ответ: 45: (− 15) = − 3 .

Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

Определение 2

Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного   a на положительное b , нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1 , тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d = a − b · c .

Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• делить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1 ;
• использовать формулу для остатка d = a − b · c .

Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

Пример 6

Найти неполное частное и остаток от деления - 17 на 5 .

Решение

Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3 , а остаток 2 . Так как получили 3 , противоположное - 3 . Необходимо отнять 1 .

− 3 − 1 = − 4 .

Искомое значение полчаем равное - 4 .

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , тогда d = a − b · c = − 17 − 5 · (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Значит, неполным частным от деления является число - 4 с остатком равным 3 .

Ответ: (− 17) : 5 = − 4 (ост. 3).

Пример 7

Разделить целое отрицательное число - 1404 на положительное 26 .

Решение

Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.

Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное = - 54 .

Ответ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Определение 3

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b , необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1 , тогда сможем произвести вычисления по формуле d = a − b · c .

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя с получением неполного частного с
• остатком;
• прибавление 1 к неполному частному;
• вычисление остатка, исходя из формулы d = a − b · c .

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Пример 8

Найти неполное частное и остаток при делении - 17 на - 5 .

Решение

Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное = 3 , а остаток равен 2 . По правилу необходимо сложить неполное частное и 1 . Получим, что 3 + 1 = 4 . Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4 .

Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a = − 17 , b = − 5 , c = 4 , тогда, используя формулу, получим d = a − b · c = − 17 − (− 5) · 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Искомый ответ, то есть остаток, равен 3 , а неполное частное равно 4 .

Ответ: (− 17) : (− 5) = 4 (ост. 3).

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0 ≤ d < b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Рассмотрим на примерах.

Пример 9

Произведено деление - 521 на - 12 . Частное равно 44 , остаток 7 . Выполнить проверку.

Решение

Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен - 12 , значит, его модуль равен 12 . Можно переходить к следующему пункту проверки.

По условию имеем, что a = − 521 , b = − 12 , c = 44 , d = 7 . Отсюда вычислим b · c + d , где b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.

Пример 10

Выполнить проверку деления (− 17) : 5 = − 3 (ост. − 2). Верно ли равенство?

Решение

Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный - 2 . Остаток не является отрицательным числом.

Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.

Ответ: нет.

Пример 11

Число - 19 разделили на - 3 . Неполное частное равно 7 , а остаток 1 . Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.

Решение

Дан остаток, равный 1 . Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.

Вычислим значение выражения b · c + d . По условию имеем, что b = − 3 , c = 7 , d = 1 , значит, подставив числовые значения, получим b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Следует, что a = b · c + d равенство не выполняется, так как в условии дано а = - 19 .

Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.

Ответ: нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Деление с остатком проходят в третьем классе начальной школы. Тема довольно сложная для понимания ребенком и требует от него практически идеального знания таблицы умножения. Но все математические знания улучшаются с практикой, и поэтому, решая задания, ребенок с каждым примером будет выполнять его все быстрее и с меньшим количеством ошибок. Наш тренажер предполагает отработку навыка быстрого деления с остатком.

Как делить с остатком

1. Определяем, что деление с остатком (не делится нацело).

34:6 не решается без остатка

2. Подбираем ближайшее меньшее число к первому (делимому), которое делится на второе (делитель).

Ближайшее к 34 меньшее число, которое делится на 6 - это 30

3. Выполняем деление этого числа на делитель.

4. Пишем ответ (частное).

5. Чтобы найти остаток, от первого числа (делимого) вычитаем то число, которое подобрали. Записываем остаток. При делении с остатком остаток всегда должен получиться меньше делителя.

34-30=4 (ост. 4) 4<6 Ответ: 34:6=5 (ост.4)

Проверяем деление так:

Умножаем ответ на делитель (второе число) и прибавляем к ответу остаток. Если получается делимое (первое число), то деление выполнил верно.

5*6+4=34 Деление выполнено верно.

Большие числа легко и просто делятся столбиком. При этом в уголке под делителем у нас запишется целое число, а в самом низу останется остаток, который меньше делителя.

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому.

Например:

6: 10 = 0 (ост. 6)
14: 112 = 0 (ост. 14)

Скачать карточки-тренажеры на деление с остатком

Сохраните лист-карточку себе на компьютер и распечатайте на А4. Одного листа хватит на 5 дней отработки деления с остатком. В нем 5 столбиков с примерами. Вы можете даже разрезать лист на 5 частей. Над каждым столбиком - тучка, смайлик и солнышко, пусть ребенок оценит свою работу, когда закончит столбик.

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 - класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра "Угадай операцию"

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Упрощение"

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение"

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Визуальная геометрия"

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Копилка"

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение перезагрузка"

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.