Dom » Decking » Kako izračunati površinu piramide: baza, bočna i puna? Kako pronaći bočnu površinu piramide Kako pronaći bočnu površinu pravilne piramide

Kako izračunati površinu piramide: baza, bočna i puna? Kako pronaći bočnu površinu piramide Kako pronaći bočnu površinu pravilne piramide

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema, na primjer.

Cilindar ima tri površine: gornju, donju i bočnu površinu.

Gornji i donji dio cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2 . Stoga će formula za površinu dva kruga (gornji i donji dio cilindra) izgledati kao πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje predstavili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena konzerva koja nema gornji poklopac i dno. Napravimo vertikalni rez na bočnom zidu od vrha do dna tegle (korak 1 na slici) i pokušajmo da otvorimo (ispravimo) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon potpunog otkrivanja rezultirajuće tegle, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je kružnica, a znamo da se obim kruga izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.

Kada je bočna stijenka cilindra potpuno proširena, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat, dobili smo formulu za izračunavanje bočne površine cilindra.

Formula za površinu bočne površine cilindra
S strana = 2prh

Puna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površine sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz zapisuje identičnom formulom 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r je polumjer cilindra, h je visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra koristeći primjere.

1. Poluprečnik osnove cilindra je 2, visina 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina se izračunava po formuli: S strana. = 2prh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Ukupno primljenih ocjena: 990.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovoj lekciji:

Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide

Pogledajte i povezane materijale:
.

Bilješka . Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..

Zadatak 1. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide

Visina osnove pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni.
Pronađite ukupnu površinu piramide

Rješenje.

U osnovi pravilne trouglaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da bismo riješili problem, koristimo svojstva pravilnog trokuta:

Znamo visinu trougla, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Odakle će površina osnove biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Ugao OKM, prema opisu problema, je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamijenimo poznate vrijednosti.

OK / MK = √2/2

Uzimamo u obzir da je OK jednak poluprečniku upisane kružnice. Onda
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Onda
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina bočne strane je tada jednaka polovini umnoška visine i osnove trokuta.
Strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovori: 3√3 + 18/√6

Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide

U pravilnoj trouglastoj piramidi visina je 10 cm, a stranica osnove 16 cm . Pronađite bočnu površinu .

Rješenje.

Pošto je osnova pravilne trouglaste piramide jednakostraničan trokut, tada je AO polumjer opisane kružnice oko baze.
(Slijedi iz)

Poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla nalazi se iz njegovih svojstava

Otuda će dužina ivica pravilne trouglaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide je poznata po uslovu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Svaka strana piramide je jednakokraki trougao. Površina jednakokračnog trokuta nalazi se iz prve formule ispod

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 m² (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Pošto su sve tri strane pravilne piramide jednake, bočna površina će biti jednaka
3S = 48√(91/3)

odgovor: 48 √(91/3)

Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Stranica pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Rješenje.
Pošto je piramida pravilna, u osnovi ima jednakostranični trougao. Dakle, površina baze je

Dakle = 9 * √3/4

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Ugao OKM, prema opisu problema, je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Hajde da iskoristimo

Koji oblik nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo se pozabavili pojmom, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da se površina takvog geometrijskog tijela sastoji od zbira površina baze i cijele njegove bočne površine.

Izračunavanje površine osnove piramide

Izbor formule za proračun ovisi o obliku poligona koji leži u osnovi naše piramide. Može biti ispravan, odnosno sa stranicama iste dužine, ili netačan. Hajde da razmotrimo obe opcije.

U osnovi je pravilan poligon

Iz školskog kursa se zna:

površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljen sa 4 puta kvadratnim korijenom od tri.

Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti vrijednost perimetra ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), i zatim podijelite rezultat sa dva: Sn=1/2P*r .

Osnova je nepravilan poligon.

Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a * h (gdje je a osnova trokuta, h visina spušten na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.

Neka nam je proizvoljna piramida, tj. onaj čija je osnova nepravilan mnogougao. Zatim biste trebali posebno izračunati površinu svakog lica i dodati rezultate. Pošto stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se zasniva na gore navedenoj formuli: S=1/2a*h.
Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) stranice (isto za sva lica) : Sb \u003d 1/2 P * h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njene osnove sa površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trouglaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Prema formuli So \u003d 1 / 2a * h, nalazimo površinu baze. Primjenjujemo istu formulu da pronađemo površinu svakog lica piramide, također trokutastog oblika, i dobijemo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Zbrajanjem površina stranica i baze, dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp = So + Sb.

Površina četvorougaone piramide

Bočna površina je zbroj 4 člana: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule površine trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - ispravnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.

Definicija piramide

Piramida je poliedar, koji se zasniva na poligonu, a njegova lica su trouglovi.

Online kalkulator

Vrijedi se zadržati na definiciji nekih komponenti piramide.

Ona, kao i drugi poliedri, ima rebra. Oni konvergiraju u jednu tačku, koja se zove samit piramide. U njegovoj osnovi može ležati proizvoljni poligon. rub naziva se geometrijska figura koju čine jedna od strana baze i dva najbliža ruba. U našem slučaju, ovo je trougao. Visina piramida je udaljenost od ravni u kojoj leži njena osnova do vrha poliedra. Za pravilnu piramidu postoji još jedan koncept apothem je okomita od vrha piramide do njene osnove.

Vrste piramida

Postoje 3 vrste piramida:

Pravougaona- onaj u kojem bilo koja ivica formira pravi ugao sa bazom.
ispravan- njegova osnova je pravilna geometrijska figura, a vrh samog poligona je projekcija centra baze.
Tetrahedron- piramida sastavljena od trouglova. Štaviše, svaki od njih se može uzeti kao osnova.

Formula površine piramide

Da biste pronašli ukupnu površinu piramide, dodajte bočnu površinu i osnovnu površinu.

Najjednostavniji je slučaj pravilne piramide, pa ćemo se time baviti. Izračunajmo ukupnu površinu takve piramide. Bočna površina je:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS strana = 2 1 ⋅ l ⋅str

ll l- apotema piramide;
pp str je obim osnove piramide.

Ukupna površina piramide:

S = S strana + S glavna S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S strana + S main

S strana S_(\text(side)) S strana - površina bočne površine piramide;
S glavni S_(\text(main)) S main je površina osnove piramide.

Primjer rješenja problema.

Primjer

Pronađite ukupnu površinu trokutaste piramide ako je njen apotem 8 (vidi), a u osnovi leži jednakostranični trokut sa stranom 3 (vidi)

Rješenje

L=8 l=8 l =8
a=3 a=3 a =3

Pronađite obim baze. Pošto je osnova jednakostraničan trokut sa stranicom aa a, zatim njegov perimetar pp str(zbir svih njegovih strana):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p=a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Zatim bočna površina piramide:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S strana = 2 1 ⋅ l ⋅p=2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vidi sq.)

Sada nalazimo površinu osnove piramide, odnosno površinu trokuta. U našem slučaju, trokut je jednakostraničan i njegova površina se može izračunati po formuli:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S main = 4 3 ⋅ a 2

Aa a je stranica trougla.

Dobijamo:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\približno 3.9S main = 4 3 ⋅ a 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (vidi sq.)

Puna površina:

S = S strana + S glavna ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3,9=39,9S=S strana + S main ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vidi sq.)

odgovor: 39,9 cm sq.

Još jedan primjer, malo složeniji.

Primjer

Osnova piramide je kvadrat površine 36 (vidi kvadrat). Apotem poliedra je 3 puta veći od stranice baze aa a. Pronađite ukupnu površinu ove figure.

Rješenje

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Pronađite stranu baze, odnosno stranu kvadrata. Njegova površina i dužina stranice su povezane:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad = a 2
36=a2 36=a^2 3 6 = a 2
a=6 a=6 a =6

Pronađite obim osnove piramide (tj. opseg kvadrata):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p=a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Pronađite dužinu apoteme:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

u našem slučaju:

S quad = S glavni S_(\text(quad))=S_(\text(main))S quad = S main

Ostaje pronaći samo bočnu površinu. prema formuli:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S strana = 2 1 ⋅ l ⋅p=2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vidi sq.)

Puna površina:

$S=S_(\text(side))+S_(\text(main))=216+36=252$

odgovor: 252 cm sq.

Pregledi