Допустимая погрешность измерения. Выбор измерительных средств по допустимой погрешности измерения. Корректирование результатов измерений

Погрешность является одной из наиболее важных метрологических характеристик средства измерений (технического средства, предназначенного для измерений). Она соответствует разнице между показаниями средства измерений и истинным значением измеряемой величины. Чем меньше погрешность, тем более точным считается средство измерений, тем выше его качество. Наибольшее возможное значение погрешности для определенного типа средств измерений при определенных условиях (например, в заданном диапазоне значений измеряемой величины) называется пределом допускаемой погрешности. Обычно устанавливают пределы допускаемой погрешности , т.е. нижнюю и верхнюю границы интервала, за которые не должна выходить погрешность.

Как сами погрешности, так и их пределы, принято выражать в форме абсолютных, относительных или приведенных погрешностей. Конкретная форма выбирается в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений , а также от условий применения и назначения средств измерений. Абсолютную погрешность указывают в единицах измеряемой величины, а относительную и приведённую - обычно в процентах. Относительная погрешность может характеризовать качество средства измерения гораздо более точно, чем приведённая, о чем будет рассказано далее более подробно.

Связь между абсолютной (Δ), относительной (δ) и приведённой (γ) погрешностями определяется по формулам:

где X - значение измеряемой величины, X N - нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ. Критерии выбора нормирующего значения X N устанавливаются ГОСТ 8.401-80 в зависимости от свойств средства измерений, и обычно оно должно быть равно пределу измерений (X K), т.е.

Пределы допускаемых погрешностей рекомендуется выражать в форме приведённых в случае, если границы погрешностей можно полагать практически неизменными в пределах диапазона измерений (например, для стрелочных аналоговых вольтметров, когда границы погрешности определяются в зависимости от цены деления шкалы, независимо от значения измеряемого напряжения). В противном случае рекомендуется выражать пределы допускаемых погрешностей в форме относительных согласно ГОСТ 8.401-80.
Однако на практике выражение пределов допускаемых погрешностей в форме приведённых погрешностей ошибочно используется в случаях, когда границы погрешностей никак нельзя полагать неизменными в пределах диапазона измерений. Это либо вводит пользователей в заблуждение (когда они не понимают, что заданная таким образом в процентах погрешность считается вовсе не от измеряемой величины), либо существенно ограничивает область применения средства измерений, т.к. формально в этом случае погрешность по отношению к измеряемой величине возрастает, например, в десять раз, если измеряемая величина составляет 0,1 от предела измерений.
Выражение пределов допускаемых погрешностей в форме относительных погрешностей позволяет достаточно точно учесть реальную зависимость границ погрешностей от значения измеряемой величины при использовании формулы вида

δ = ±

где с и d - коэффициенты, d

При этом в точке X=X k пределы допускаемой относительной погрешности, рассчитанные по формуле (4), будут совпадать с пределами допускаемой приведенной погрешности

В точках X

Δ 1 =δ·X=·X

Δ 2 =γ·Х K = c·X k

Т.е. в большом диапазоне значений измеряемой величины может быть обеспечена гораздо более высокая точность измерений, если нормировать не пределы допускаемой приведённой погрешности по формуле (5), а пределы допускаемой относительной погрешности по формуле (4).

Это означает, например, что для измерительного преобразователя на основе АЦП с большой разрядностью и большим динамическим диапазоном сигнала выражение пределов погрешности в форме относительной адекватнее описывает реальные границы погрешности преобразователя, по сравнению с формой приведённой.

Использование терминологии

Данная терминология широко используется при описании метрологических характеристик различных Средств измерения, например, перечисленных ниже производства ООО "Л Кард":

Модуль АЦП/ЦАП
16/32 каналов, 16 бит, 2 МГц, USB, Ethernet

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например , длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

• при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
• при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
• при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например , для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.2 . Всего получено оценок: 603.

Здравствуйте, форумчане! Хочу спросить всех по вопросу формулы для определения предельно допустимой погрешность определения площади ЗУ. По вопросу погрешности точек много написано, а вот по поводу погрешности площади очень и очень мало.

В данный момент, из за того что нет утвержденных формул, во всех программах, в которых работают кадастровые инженера, используются две формулы... - одна из "метод.рекомендаций по проведению межевания " (утв- Росземкадастром от 17-02-2003), выглядит как - ΔР= 3,5 Mt √Р
вторая из "Инструкция по межеванию земель" (утв. Роскомземом 08.04.1996), никак не получается корректно ее написать, но Вы поняли...

хочу обсудить использование формулы №1 из метод.рекомендаций..ΔР= 3,5 Mt √Р
Если честно, к своему стыду, я никогда не всматривалась и не разбирала эти формулы досконально, оставляя это на совести разработчиков ПО, т.е. считает погрешность - программа..... а вот сейчас, после переезда в другой город, обстоятельства заставили....

Вы прекрасно знаете, что бывают случаи (и часто) когда в распоряжении, постановлении и т.п. стоит одна площадь, а фактически (в силу обстоятельств) чуть чуть отличается, прошу не путать с 10% и тому подобным увеличением при уточнении.

Всегда, по умолчанию использовала первую формулу, и для меня стало неожиданностью замечание местной КП - "а почему у Вас под знаком корня стоит фактическая площадь?". Я сначала, естестно, захотела возмутиться, но потом решила все таки почитать теоретическую часть, выяснила - откуда ноги растут.... и вроде как КП права... В исходнике, т.е. Метод.рекомендациях дается вполне понятная расшифровка допустимой погрешности. И главное - то, что используется под знаком корня документальная площадь из разрешений...
Я написала разработчикам ПО, с просьбой комментариев по этому моменту, так вот - их позиция вкратце - "под корнем должна быть фактическая площадь, ибо это вытекает из 921 приказа...
"Формулы, примененные для расчета предельной допустимой погрешности определения площади земельных участков (частей земельных участков) (), указываются в межевом плане с подставленными в данные формулы значениями и результатами вычислений ." И вроде тоже логично....

Но не совсем логично, что в другой формуле из инструкции используется фактическая площадь. Ну не может же быть такого... Я конечно не математик, но если хочешь получить результат вычислений, формулы то могут быть разными, но исходники то нет...

Так вот господа и дамы - я прекрасно знаю, пока нет НПА, единого мнения быть не может, но все-таки! у кого как считается эта формула в ПО??? я уже даже не заикаюсь о том, как же правильно... использованием под корнем фактической или разрешительной площади?

Я уже у коллег, работающих в другом ПО поинтересовалась, выяснилось, что у них считается формула точно по метод.рекомендациям, т.е. исходя их разрешительной площади, значит кто в лес - кто по дрова...

А то у меня сейчас небольшая вилка - кадастровая машет пальцем и грозит "не примем", в программе я изменить ничего не могу, разработчики отстаивают свою позицию.. а у меня что-то с аргументацией туговато..

Я конечно попробую сделать межевое с использованием второй формулы, вот только боюсь, что КП по аналогии не начнет требовать и там площадь из разрешительных..

Выбор измерительных средств по допустимой

При выборе измерительных средств и методов контроля изделий учитывают совокупность метрологических, эксплуатационных и экономических показателей. К метрологическим показателям относятся: допустимая погрешность измерительного прибора-инструмента; цена деления шкалы; порог чувствительности; пределы измерения и др. К эксплуатационным и экономическим показате­лям относятся: стоимость и надежность измерительных средств; продолжительность работы (до ремонта); время, затрачиваемое на настройку и процесс измерения; масса, габаритные размеры и рабочая нагрузка.

3.6.3.1. Выбор измерительных средств для контроля размеров

На рис. 3.3 показаны кривые распределения размеров деталей (у тех) и погрешностей измерения (у мет) с центрами, совпадающими с границами допуска. В результате наложения кривых у мет и у тех происходит искажение кривой распределения у(s тех, s мет), появляются области вероятностей т и п, обусловливающие выход размера за границу допуска на величину с . Таким образом, чем точнее технологический процесс (меньше отношение IT/D мет), тем меньше неправильно принятых деталей по сравнению с неправильно забракованными.

Решающим фактором является допускаемая погрешность измерительного средства, что вытекает из стандартизованного определения действительного размера как и размера, получаемого в результате измерения с допустимой погрешностью.

Допускаемые погрешности измерения d изм при приёмочном контроле на линейные размеры до 500 мм устанавливаются ГОСТом 8.051, которые составляют 35-20% от допуска на изготовление детали IT. По этому стандарту предусмотрены наибольшие допускаемые погрешности измерения, включающие погрешности от средств измерений, установочных мер, температурных деформаций, измерительного усилия, базирования детали. Допускаемая погрешность измерения d изм состоит из случайной и неучтённой систематической составляющих погрешности. При этом случайная составляющая погрешности принимается равной 2s и не должна превышать 0,6 от погрешности измерения d изм.

В ГОСТе 8.051 погрешность задана для однократного наблюдения. Случайная составляющая погрешности может быть значительно уменьшена за счёт многократных наблюдений, при которых она уменьшается в раз, где n - число наблюдений. При этом за действительный размер принимается среднеарифметическое из серии проведённых наблюдений.

При арбитражной перепроверке деталей погрешность измерения не должна превышать 30% предела погрешности, допускаемой при приёмке.

Значения допустимой погрешности измерения d изм на угловые размеры установлены по ГОСТу 8.050 - 73.

у тех

n

6s тех

c

c

IT

y мет

2D мет

2D мет

у(s тех; s мет)

n

m

m

можно допустить при измерении: они включают в себя случайные и неучтенные систематические погрешности измерения, все составляющие, зависящие от измерительных средств, установочных мер, температурных деформаций, базирования и т. д.

Случайная погрешность измерения не должна превышать 0,6 от допустимой погрешности измерения и принимается равной 2s, где s-значение среднего квадратического отклонения погрешности измерения.

При допусках, не соответствующих значениям, указанным в ГОСТе 8.051 – 81 и ГОСТе 8.050 - 73, допустимую погрешность выбирают по ближайшему меньшему значению допуска для соответствующего размера.

Влияние погрешностей измерения при приемочном контроле по линейным размерам оценивается параметрами:

т- часть измеренных деталей, имеющих размеры, выходящие за предельные размеры, принята в числе годных (неправильно принятые);

п - часть деталей, имеющих размеры, не превышающие предельных размеров, забракованы (неправильно забракованные);

с -вероятностная предельная величина выхода размера за предельные размеры у неправильно принятых деталей.

Значения параметров т, п, с при распределении контролируемых размеров по нормальному закону приведены на рис. 3.4, 3.5 и 3.6.

Рис. 3.4. График для определения параметра m

Для определения т с другой доверительной вероятностью необходимо сместить начало координат по оси ординат.

Кривые графиков (сплошные и пунктирные) соответствуют определенному значению относительной погрешности измерения, равной

где s - среднее квадратическое отклонение погрешности измерения;

IТ-допуск контролируемого размера.

При определении параметров т, п и с рекомендуется принимать

А мет(s) = 16 % для квалитетов 2-7, А мет(s) =12 % - для квалитетов 8, 9,

А мет(s) =10 % - для квалитетов 10 и грубее.

Параметры т, п и с приведены на графиках в зависимости от значения IT/s тех, где s тех - среднее квадратическое отклонение погрешности изготовления. Параметры m , n и с даны при симметричном расположении поля допуска относительно центра группирования контролируемых деталей. Для определяется m , n и с при совместном влиянии систематической и случайной погрешностей изготовления пользуются теми же графиками, но вместо значения IT/s тех принимается

для одной границы ,

а для другой - ,

где a Т - систематическая погрешность изготовления.

При определении параметров m и n для каждой границы берется половина получаемых значений.

Возможные предельные значения параметров т, п и с /IТ, соответствующие экстремальным значениям кривых (на рис. 3.4 – 3.6), приведены в табл.3.5.

Таблица 3.5

A мет (s)	m	n	c /IT	A мет (s)	m	n	c /IT
1,60	0,37-0,39	0,70-0,75	0,01	10,0	3,10-3,50	4,50-4,75	0,14
3,0	0,87-0,90	1,20-1,30	0,03	12,0	3,75-4,11	5,40-5,80	0,17
5,0	1,60-1,70	2,00-2,25	0,06	16,0	5,00-5,40	7,80-8,25	0,25
8,0	2,60-2,80	3,40-3,70	0,10

Первые значения т и п соответствуют распределению погрешностей измерения по нормальному закону, вторые-по закону равной вероятности.

Предельные значения параметров т, п и с /IТ учитывают влияние только случайной составляющей погрешности измерения.

ГОСТ 8.051-81 предусматривает два способа установления приемочных границ.

Первый способ . Приемочные границы устанавливают совпадающими с предельными размерами (рис. 3.7, а ).

Пример. При проектировании вала диаметром 100 мм оценено, что отклонения его размеров для условий эксплуатации должны соответствовать h6(100- 0,022). В соответствии с ГОСТом 8.051 - 81 устанавливают, что для размера вала 100 мм и допуска IТ=0,022 мм допускаемая погрешность измерения d изм = 0,006 мм.

В соответствии с табл. 3.5 устанавливают, что для A мет (s) = 16% и неизвестной точности технологического процесса m = 5,0 и с = 0,25IТ, т. е. среди годных деталей может оказаться до 5,0 % неправильно принятых деталей с предельными отклонениями +0,0055 и -0,0275 мм.

+d изм

-d изм

+d изм

-d изм

+d изм

-d изм

+d изм

-d изм

+d изм

-d изм

+d изм

-d изм

d изм /2 с

Источники погрешностей (инструментальные и методические погрешности, влияние помех, субъективные ошибки). Номинальная и реальная функция преобразования, абсолютная и относительная погрешность средства измерений, основная и дополнительная погрешности. Пределы допускаемых погрешностей, классы точности средств измерений. Выявление и уменьшение систематических погрешностей. Оценка случайных погрешностей. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Оценка погрешностей косвенных измерений. Обработка результатов измерений. [1 : с.23…35,40,41,53,54,56…61; 2 : с.22…53; 3 : с.48…91; 4 : с.21,22,35…52,63…71, 72…77,85…93].

II.1. Основные сведения и методические указания.

Одним из основополагающих понятий Метрологии является понятие погрешности измерений.

Погрешностью измерения называют отклонение измеренного

значения физической величины от её истинного значения.

Погрешность измерений, в общем случае, может быть вызвана следующими причинами:

Несовершенством принципа действия и недостаточным качеством элементов используемого средства измерения.

Несовершенством метода измерений и влиянием используемого средства измерения на саму измеряемую величину, зависящим от способа использования данного средства измерения.

Субъективными ошибками экспериментатора.

Так как истинное значение измеряемой величины никогда неизвестно (в противном случае отпадает необходимость в проведении измерений), то численное значение погрешности измерений может быть найдено только приближенно. Наиболее близким к истинному значению измеряемой величины является значение, которое может быть получено при использовании эталонных средств измерений (средств измерений наивысшей точности). Это значение условились называть действительным значением измеряемой величины. Действительное значение также является неточным, однако, из-за малой погрешности эталонных средств измерений, погрешностью определения действительного значения пренебрегают.

Классификация погрешностей

По форме представления различают понятия абсолютной погрешности измерений и относительной погрешности измерений.

Абсолютной погрешностью измерений называют разность между

измеренным и действительным значениями измеряемой

величины:

где ∆ - абсолютная погрешность,

–измеренное значение,

–действительное значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины. Знак абсолютной погрешности будет положительным, если измеренное значение больше действительного, и отрицательным в противном случае.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной

погрешности к действительному значению измеряемой величины:

где δ – относительная погрешность.

Чаще всего относительную погрешность определяют приближенно в процентах от измеренного значения:

Относительная погрешность показывает, какую часть (в %) от измеренного значения составляет абсолютная погрешность. Относительная погрешность позволяет нагляднее, чем абсолютная погрешность, судить о точности измеренного значения.

По источникам происхождения погрешности подразделяют на следующие виды:

Инструментальные погрешности;

Методические погрешности;

Субъективные погрешности, допущенные экспериментатором.

Инструментальными называются погрешности, которые принадлежат данному типу средств измерения, могут быть определены при их испытаниях и занесены в паспорт средства измерения в виде пределов допускаемых погрешностей.

Инструментальная погрешность возникает из-за несовершенства принципа действия и недостаточно высокого качества элементов, применяемых в конструкции средства измерений. По этой причине реальная передаточная характеристика каждого экземпляра средства измерений в большей или меньшей степени отличается от номинальной (расчетной) передаточной характеристики. Отличие реальной характеристики средства измерений от номинальной (рис.1) определяет величину инструментальной погрешности средства измерений.

Рис.1. Иллюстрация к определению понятия инструментальной

погрешности.

Здесь: 1 – номинальная характеристика средства измерений;

2 – реальная характеристика средства измерений.

Как видно из рис.1, при изменении измеряемой величины, инструментальная погрешность может иметь различные значения (как положительные, так и отрицательные).

При создании средств измерений какой-либо физической величины, к сожалению, не удается полностью избавиться от реакции этого средства измерений на изменение других (не измеряемых) величин. Наряду с чувствительностью средства измерения к измеряемой величине, оно всегда реагирует (хотя и существенно в меньшей степени) на изменение условий эксплуатации. По этой причине инструментальную погрешность подразделяют на основную погрешность и дополнительную погрешности.

Основной погрешностью называют погрешность, имеющую место

в случае применения средства измерений в нормальных условиях

эксплуатации.

Номенклатура влияющих на средство измерений величин и диапазоны их изменений определяются разработчиками в качестве нормальных условий для каждого типа средств измерений. Нормальные условия эксплуатации всегда указываются в техническом паспорте средства измерений. Если эксперимент выполняется в условиях, отличных от нормальных для данного средства измерений, его реальная характеристика искажается сильнее, чем в нормальных условиях. Погрешности, которые при этом возникают, называют дополнительными.

Дополнительной погрешностью называют погрешность средств

измерений, которая возникает в условиях, отличающихся от

нормальных, но входящих в допустимую рабочую область условий

эксплуатации.

Рабочие условия эксплуатации, так же как и нормальные, в обязательном порядке приводятся в техническом паспорте средств измерений.

Инструментальная погрешность средств измерений определенного типа не должна превышать некоторого заданного значения – так называемой предельно допустимой основной погрешности средств измерений данного типа. Фактическая основная погрешность каждого конкретного экземпляра этого типа является при этом случайной величиной и может принимать различные значения, иногда даже равные нулю, но в любом случае инструментальная погрешность не должна превышать заданного предельного значения. Если это условие не выполняется, средство измерений должно быть изъято из обращения.

Методическими называются погрешности, которые возникают из-за неудачного выбора экспериментатором средства измерения для решения поставленной задачи. Они не могут быть приписаны средству измерения и приведены в его паспорте.

Методические погрешности измерения зависят как от характеристик применяемого средства измерений, так и во многом от параметров самого объекта измерения. Неудачно выбранные средства измерений могут исказить состояние объекта измерений. При этом методическая составляющая погрешности может оказаться существенно больше инструментальной.

Субъективными погрешностями называют погрешности,

допускаемые самим экспериментатором при проведении

измерений.

Этот тип погрешностей связан обычно с невнимательностью экспериментатора: применение прибора без устранения смещения нуля, неправильное определение цены деления шкалы, неточный отсчет доли деления, ошибки в подключении и т.п.

По характеру проявления погрешности измерений подразделяют на:

Систематические погрешности;

Случайные погрешности;

Промахи (грубые ошибки).

Систематической называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины остается постоянной, или изменяется закономерно.

Систематические погрешности обусловлены как несовершенством метода измерений и влиянием средства измерений на измеряемый объект, так и отклонением реальной передаточной характеристики применяемого средства измерений от номинальной характеристики.

Постоянные систематические погрешности средств измерений могут быть выявлены и численно определены в результате сличения их показаний с показаниями эталонных средств измерений. Такие систематические погрешности могут быть уменьшены регулировкой приборов или введением соответствующих поправок. Следует заметить, что полностью исключить систематические погрешности средств измерений не удается, так как их реальные передаточные характеристики изменяются при изменении условий эксплуатации. Кроме этого всегда имеют место так называемые прогрессирующие погрешности (возрастающие или убывающие), вызванные старением элементов входящих в состав средств измерений. Прогрессирующие погрешности могут быть скорректированы регулировкой или введением поправок лишь на некоторое время.

Таким образом, даже после регулировки или введения поправок, всегда имеет место так называемая неисключенная систематическая погрешность результата измерений.

Случайной называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины принимает различные значения.

Случайные погрешности обусловлены хаотичным характером изменений физических величин (помех), влияющих на передаточную характеристику средства измерений, суммированием помех с измеряемой величиной, а также наличием собственных шумов средства измерений. При создании средств измерений предусматриваются специальные меры защиты от помех: экранирование входных цепей, использование фильтров, применение стабилизированных источников питающего напряжения и т.д. Это позволяет уменьшить величину случайных погрешностей при проведении измерений. Как правило, при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерений либо совпадают, либо отличаются на одну, две единицы младшего разряда. В такой ситуации случайной погрешностью пренебрегают и оценивают только величину неисключенной систематической погрешности.

Наиболее сильно случайные погрешности проявляются при измерении малых значений физических величин. Для повышения точности в таких случаях производятся многократные измерения с последующей статистической обработкой результатов методами теории вероятности и математической статистики.

Промахами называют грубые погрешности, существенно превышающие ожидаемые погрешности при данных условиях проведения измерений.

Промахи большей частью возникают из-за субъективных ошибок экспериментатора или из-за сбоев в работе средства измерений при резких изменениях условий эксплуатации (броски или провалы сетевого напряжения, грозовые разряды и т.п.) Обычно промахи легко выявляются при повторных измерениях и исключаются из рассмотрения.

Оценка погрешностей косвенных измерений.

При косвенных измерениях результат измерений определяется по функциоральной зависимости от результатов прямых измерений. Поэтому погрешность косвенных измерений определяется как полный дифференциал этой функции от величин, измеряемых с помощью прямых измерений.

;

Где: - предельные абсолютные погрешности результатов прямых

измерений;

- предельная абсолютная погрешность результата косвенного

измерения;

- соответствующие предельные относительные погрешности.

- функциональная связь между искомой измеряемой величиной и

величинами, подвергающимися прямым измерениям.

Статистическая обработка результатов измерений

Из-за влияния на средство измерений помех различного происхождения (изменение температуры окружающей среды, электромагнитных полей, вибраций, изменения частоты и амплитуды сетевого напряжения, изменения атмосферного давления, влажности и т.д.), а также из-за наличия собственных шумов элементов, входящих в состав измерительных приборов, результаты повторных измерений одной и той же физической величины (особенно ее малых значений) будут в большей или меньшей степени отличаться друг от друга. В этом случае результат измерений является случайной величиной, которая характеризуется наиболее вероятным значением и разбросом (рассеянием) результатов повторных измерений вблизи наиболее вероятного значения. Если при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерений не отличаются друг от друга, то это означает, что разрешающая способность отсчетного устройства не позволяет обнаружить это явление. В этом случае случайная составляющая погрешности измерений является несущественной и ею можно пренебречь. При этом неисключенную систематическую погрешность результата измерений оценивают по величине пределов допускаемых погрешностей применяемых средств измерений. Если же при повторных измерениях одной и той же величины наблюдается разброс показаний, то это означает, что наряду с большей или меньшей неисключенной систематической погрешностью, имеет место и случайная погрешность, принимающая при повторных измерениях различные значения.

Для определения наиболее вероятного значения измеряемой величины при наличии случайных погрешностей и для оценки погрешности, с которой определено это наиболее вероятное значение, применяется статистическая обработка результатов измерений. Статистическая обработка результатов серии измерений при проведении экспериментов позволяет решить следующие задачи.

Более точно определить результат измерения путем усреднения отдельных наблюдений.

Оценить область неопределенности уточненного результата измерений.

Основной смысл усреднения результатов измерений заключается в том, что найденная усредненная оценка имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные результаты, по которым эта усредненная оценка определяется. Следовательно усреднение не устраняет полностью случайного характера усредненного результата, а лишь уменьшает ширину полосы его неопределенности.

Таким образом, при статистической обработке, прежде всего, определяют наиболее вероятное значение измеряемой величины путем вычисления среднего арифметического всех отсчетов:

где: x i – результат i – го измерения;

n – число проведенных измерений в данной серии измерений.

После этого оценивают отклонение результатов отдельных измерений x i от этой оценки среднего значения ;
.

Затем находят оценку среднеквадратического отклонения наблюдений, характеризующую степень рассеяния результатов отдельных наблюдений вблизи, по формуле:

.

Точность оценки наиболее вероятного значения измеряемой величины зависит от числа наблюдений. Нетрудно убедиться в том, что результаты нескольких оценокпо одному и тому же числуотдельных измерений будут отличаться. Таким образом, сама оценкатакже является случайной величиной. В связи с этим вычисляется оценка среднеквадратического отклонения результата измерения, которую обозначают. Эта оценка характеризует степень разброса значенийпо отношению к истинному значению результата, т.е. характеризует точность результата, полученного усреднением результата многократных измерений. Следовательно, поможет быть оценена систематическая составляющая результата серии измерений. Для различныхона определяется по формуле:

Следовательно, точность результата многократных измерений увеличивается с ростом числа последних.

Однако в большинстве практических случаев нам важно определить не просто степень рассеивания значения погрешности при проведении серии измерений (т.е. величину ), а оценить вероятность возникновения погрешности измерения, не превышающую допустимую, т.е. не выходящую за пределы некоторого заданного интервала разброса получаемых погрешностей.

Доверительным интервалом
называют интервал, который с заданной вероятностью, называемой доверительной вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины.

При определении доверительных интервалов необходимо, прежде всего, учитывать, что закон распределения погрешностей, получаемых при проведении многократных измерений, при числе измерений в серии меньше 30, описывается не нормальным законом распределения, а так называемым законом распределения Стьюдента. И, в этих случаях, величину доверительного интервала обычно оценивают по формуле:

,

где
- так называемый коэффициент Стьюдента.

В табл.4.1 приведены значения коэффициентов Стьюдента
в зависимости от заданной доверительной вероятности и числа проведенных наблюдений. При выполнении измерений обычно задаются доверительной вероятностью 0,95 или 0,99.

Таблица 4.1

Значения коэффициентов Стьюдента
.

При изучении материалов данного раздела следует хорошо уяснить, что погрешности результатов измерений и погрешности средств измерений – не идентичные понятия. Погрешность средства измерения это его свойство, характеристика, для описания которого используют ряд правил, закрепленных в стандартах и нормативных документах. Это та доля погрешности измерения, которая определяется только самим средством измерения. Погрешность же измерений (результата измерений) – это число, которое характеризует границы неопределенности значения измеряемой величины. В нее, кроме погрешности средства измерений, могут входить составляющие погрешности, порожденные применяемым методом измерения (методические погрешности), действием влияющих (неизмеряемых) величин, погрешность отсчета и др.

Нормирование погрешностей средств измерения .

Точность СИ определяется предельно-допустимыми погрешностями, которые могут быть получены при его использовании.

Нормированием погрешностей средств измерений называют

процедуру назначения допустимых границ основной и

дополнительных погрешностей, а также выбор формы указания

этих границ в нормативно-технической документации.

Пределы допускаемой основной и дополнительных погрешностей определяются разработчиками для каждого типа средств измерений на стадии подготовки производства. В зависимости от назначения средства измерений и характера изменения погрешности в пределах диапазона измерений нормируется для средств измерений различного типа либо предельно-допустимое значение основной абсолютной погрешности, либо предельно-допустимое значение основной приведенной погрешности, либо предельно-допустимое значение основной относительной погрешности.

Для каждого типа средств измерений характер изменения погрешности в пределах диапазона измерений зависит от принципа действия этого средства измерений и может быть самым разнообразным. Однако, как показала практика, среди этого многообразия часто удается выделить три типовых случая, предопределяющих выбор формы представления пределов допускаемой погрешности. Типовые варианты отклонения реальных передаточных характеристик средств измерений от номинальной характеристики и соответствующие им графики изменения предельных значений абсолютной и относительной погрешностей в зависимости от измеряемой величины приведены на рис 2.

Если реальная передаточная характеристика средства измерений смещена по отношению к номинальной (1-й график на рис.2а), абсолютная погрешность, возникающая при этом, (1-й график на рис.2б), не зависит от измеряемой величины.

Составляющую погрешности средства измерений, не зависящую от измеряемой величины, называют аддитивной погрешностью.

Если угол наклона реальной передаточной характеристики средства измерений отличается от номинального (2-й график на рис. 2а), то абсолютная погрешность будет линейно зависеть от измеряемой величины (2-й график на рис. 2б).

Составляющую погрешности средства измерений, линейно зависящую от измеряемой величины, называют мультипликативной погрешностью.

Если реальная передаточная характеристика средства измерений смещена по отношению к номинальной и угол ее наклона отличается от номинального (3-й график на рис. 2а), то в этом случае имеет место как аддитивная, так и мультипликативная погрешность.

Аддитивная погрешность возникает из-за неточной установки нулевого значения перед началом измерений, ухода нуля в процессе измерений, из-за наличия трений в опорах измерительного механизма, из-за наличия термо-эдс в контактных соединениях и т.д.

Мультипликативная погрешность возникает при изменении коэффициентов усиления или ослабления входных сигналов (например, при изменении температуры окружающей среды, или вследствие старения элементов), из-за изменения значений, воспроизводимых мерами, встроенными в измерительные приборы, из-за изменений жесткости пружин, создающих противодействующий момент в электромеханических приборах и т.д.

Ширина полосы неопределенности значений абсолютной (рис.2б) и относительной (рис.2в) погрешностей характеризует разброс и изменение в процессе эксплуатации индивидуальных характеристик множества находящихся в обращении средств измерений определенного типа.

А) Нормирование пределов допускаемой основной погрешности для

средств измерений с преобладающей аддитивной погрешностью.

Для средств измерений с преобладающей аддитивной погрешностью (1-й график на рис.2) удобно нормировать одним числом предельно-допустимое значение абсолютной погрешности (∆ max = ±а). В этом случае фактическая абсолютная погрешность ∆ каждого экземпляра средства измерений данного типа на различных участках шкалы может иметь различные значения, но не должна превышать предельно-допустимой величины (∆ ≤ ±а). В многопредельных измерительных приборах с преобладающей аддитивной погрешностью для каждого предела измерений пришлось бы указывать свое значение предельно допустимой абсолютной погрешности. К сожалению, как видно из 1-го графика на рис.2в, нормировать одним числом предел допускаемой относительной погрешности в различных точках шкалы не представляется возможным. По этой причине для средств измерений с преобладающей аддитивной погрешностью часто нормируют одним числом значение так называемой основной приведенной относительной погрешности

,

где X N – нормирующее значение.

Таким способом, например, нормируются погрешности большинства электромеханических и электронных приборов со стрелочными индикаторами. В качестве нормирующего значения X N обычно используется предел измерений (X N = X max), удвоенное значение предела измерений (если нулевая отметка находится в середине шкалы), или длина шкалы (для приборов с неравномерной шкалой). Если X N = X max , то значение приведенной погрешности γ равно пределу допускаемой относительной погрешности средства измерений в точке, соответствующей пределу измерений. По заданному значению предела допускаемой основной приведенной погрешности легко определить предел допускаемой основной абсолютной погрешности для каждого предела измерений многопредельного прибора:
.

После этого для любой отметки шкалы X может быть произведена оценка предельно-допустимой основной относительной погрешности:

.

Б) Нормирование пределов допускаемой основной погрешности для

средств измерений с преобладающей мультипликативной

погрешностью.

Как видно из рис.2 (2-й график), для средств измерений с преобладающей мультипликативной погрешностью, одним числом удобно нормировать предел допускаемой основной относительной погрешности (рис.2в) δ max = ± b∙100%. В этом случае, фактическая относительная погрешность каждого экземпляра средства измерений данного типа на различных участках шкалы может иметь различные значения, но не должна превышать предельно допустимой величины (δ ≤ ± b∙100%). По заданному значению предельно допустимой относительной погрешности δ max для любой точки шкалы может быть произведена оценка предельно-допустимой абсолютной погрешности:

.

К числу средств измерений с преобладающей мультипликативной погрешностью относится большинство многозначных мер, счетчики электрической энергии, счетчики воды, расходомеры и др. Следует отметить, что для реальных средств измерений с преобладающей мультипликативной погрешностью не удается полностью устранить аддитивную погрешность. По этой причине в технической документации всегда указывается наименьшее значение измеряемой величины, для которого предел допускаемой основной относительной погрешности ещё не превышает заданного значения δ max . Ниже этого наименьшего значения измеряемой величины погрешность измерений не нормируется и является неопределенной.

В) Нормирование пределов допускаемой основной погрешности для

средств измерений с соизмеримой аддитивной и мультипликативной

погрешностью.

Если аддитивная и мультипликативная составляющая погрешности средства измерений соизмеримы (3-й график на рис.2), то задание предельно-допустимой погрешности одним числом не представляется возможным. В этом случае либо нормируется предел допускаемой абсолютной основной погрешности (указываются предельно-допустимые значения a и b), либо (чаще всего) нормируется предел допускаемой относительной основной погрешности. В последнем случае численные значения предельно-допустимых относительных погрешностей в различных точках шкалы оцениваются по формуле:

,

где X max – предел измерений;

X - измеренное значение;

d =
- значение приведенной к пределу измерений

аддитивной составляющей основной погрешности;

с =
- значение результирующей относительной

основной погрешности в точке, соответствующей пределу

измерений.

Рассмотренным выше способом (указанием численных значений c и d) нормируются, в частности, предельно-допустимые значения относительной основной погрешности цифровых измерительных приборов. В этом случае относительные погрешности каждого экземпляра средств измерений определенного типа не должны превышать установленных для этого типа средств измерений значений предельно-допустимой погрешности:

.

При этом абсолютная основная погрешность определяется по формуле

.

Г) Нормирование дополнительных погрешностей.

Наиболее часто пределы допускаемых дополнительных погрешностей указывают в технической документации либо одним значением для всей рабочей области величины, влияющей на точность средства измерений (иногда несколькими значениями для поддиапазонов рабочей области влияющей величины), либо отношением предела допускаемой дополнительной погрешности к интервалу значений влияющей величины. Пределы допускаемых дополнительных погрешностей указываются на каждой, влияющей на точность средства измерений величине. При этом, как правило, значения дополнительных погрешностей устанавливают в виде дольного или кратного значения предела допускаемой основной погрешности. Например, в документации может быть указано, что при температуре окружающей среды за пределами нормальной области температур, предел допускаемой дополнительной погрешности, возникающей по этой причине, не должен превышать 0,2% на 10 о С.

Классы точности средств измерений.

Исторически по точности средства измерений подразделяют на классы. Иногда их называют классами точности, иногда классами допуска, иногда просто классами.

Класс точности средства измерений – это его характеристика, отражающая точностные возможности средств измерений данного типа.

Допускается буквенное или числовое обозначение классов точности. Средствам измерений, предназначенным для измерения двух и более физических величин, допускается присваивать различные классы точности для каждой измеряемой величины. Средствам измерений с двумя или более переключаемыми диапазонами измерений также допускается присваивать два или более класса точности.

Если нормируется предел допускаемой абсолютной основной погрешности, или в различных поддиапазонах измерений установлены разные значения пределов допускаемой относительной основной погрешности, то, как правило, применяется буквенное обозначение классов. Так, например платиновые термометры сопротивления изготовляют с классом допуска А или классом допуска В. При этом для класса А установлен предел допускаемой абсолютной основной погрешности , а для классаВ - , где– температура измеряемой среды.

Если для средств измерений того или иного типа нормируется одно значение предельно-допустимой приведенной основной погрешности, или одно значение предельно-допустимой относительной основной погрешности, или указываются значения c и d , то для обозначения классов точности используются десятичные числа. В соответствии с ГОСТом 8.401-80 для обозначения классов точности допускается применение следующих чисел:

1∙10 n ; 1,5∙10 n ; 2∙10 n ; 2,5∙10 n ; 4∙10 n ; 5∙10 n ; 6∙10 n , где n = 0, -1, -2, и т.д.

Для средств измерений с преобладающей аддитивной погрешностью численное значение класса точности выбирается из указанного ряда равным предельно-допустимому значению приведенной основной погрешности, выраженной в процентах. Для средств измерений с преобладающей мультипликативной погрешностью численное значение класса точности соответствует пределу допускаемой относительной основной погрешности также выраженной в процентах. Для средств измерений с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными погрешностями числа с и d также выбираются из указанного выше ряда. При этом класс точности средства измерений обозначается двумя числами, разделенными косой чертой, например, 0,05/0,02. В этомслучае с = 0,05%; d = 0,02%. Примеры обозначений классов точности в документации и на средствах измерений, а также расчетные формулы для оценки пределов допускаемой основной погрешности приведены в Таблице 1.

Правила округления и записи результата измерений.

Нормирование пределов допускаемых погрешностей средств измерений производится указанием значения погрешностей с одной или двумя значащими цифрами. По этой причине при расчете значений погрешностей измерений также должны быть оставлены только первые одна или две значащие цифры. Для округления используются следующие правила:

Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них не более 2, и одной цифрой, если первая из них 3 и более.

Показание прибора округляется до того же десятичного разряда, которым заканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Округление производится в окончательном ответе, промежуточные вычисления выполняют с одной – двумя избыточными цифрами.

Показание прибора - 5,361 В;

Вычисленное значение абсолютной погрешности - ± 0,264 В;

Округленное значение абсолютной погрешности - ± 0,26 В;

Результат измерения - (5,36 ± 0,26) В.

Таблица 1

Примеры обозначения классов точности средств измерений и расчетные

формулы для оценки пределов допускаемой основной погрешности.

представления нормируемой основной погрешности	Примеры обозначения класса точности		Расчетные формулы для оценки пределов допускаемой основной погрешности	Примечания
	документации	средствах измерений
Нормируется предел допускаемой абсолютной основной погрешности	Варианты: Класс B ; Класс допуска В; - класс точностиВ.		или или	Значения a иb приводятся в документации на средство измерений.
Нормируется предел допускаемой приведенной основной погрешности	Варианты: Класс точности 1,5 Не обозначается.		где предел измерений.	Для приборов с равномерной шкалой и нулевой отметкой в начале шкалы
	Варианты: Класс точности 2,5; Не обозначается		- предел допускаемой абсолютной погрешности в мм. - длина всей шкалы.	Для приборов с неравномерной шкалой. Длина шкалы указывается в документации.
Нормируется предел допускаемой относительной основной погрешности	Класс точности 0,5.			Для средств измерений с преобладающей мультипликативной погрешностью.
	Варианты: Класс точности Не обозначается.	0,02/0,01		Для средств измерений с соизмеримыми аддитивной и мультипликативной погрешностью

Показание прибора – 35,67 мА;

Вычисленное значение абсолютной погрешности - ± 0,541 мА;

Округленное значение абсолютной погрешности - ± 0,5 мА;

Результат измерений – (35,7 ± 0,5) мА.

Вычисленное значение относительной погрешности – ± 1,268 %;

Округленное значение относительной погрешности – ± 1,3 %.

Вычисленное значение относительной погрешности - ± 0,367 %;

Округленное значение относительной погрешности - ± 0,4 %.

II.2. Вопросы для самопроверки

Чем вызываются погрешности измерений?

Перечислите разновидности погрешностей, возникающих в процессе измерений?

Какая разница между абсолютной, относительной и приведенной погрешностями измерения и в чем смысл их введения?

Чем отличается основная погрешность измерения от дополнительной?

Чем отличается методическая погрешность измерения от инструментальной?

Чем отличается систематическая погрешность измерения от случайной?

Что понимается под аддитивной и мультипликативной оставляющими погрешности?

В каких случаях целесообразно использовать статистическую обработку результатов измерений?

Какие статистические характеристики обработки наиболее часто используются на практике?

Как оценивается неисключенная систематическая погрешность при статистической обработке результатов измерений?

11. Что характеризует величина среднеквадратического отклонения?

12. В чем заключается суть понятий «доверительной вероятности» и «доверительного интервала», используемых при статистической обработке результатов измерений?

13. В чем заключается разность понятий «погрешность измерения» и

«погрешность средства измерения»?